「高等数学学习笔记 DAY10」

无穷大和无穷小

无穷小

定义1

如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)时的极限为 $0$,那么函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)时无限小.

特别地,以 $0$ 为极限的数列 $\{x_n\}$ 称为 $n\to\infty$ 时的无限小.

注意(这个真的很重要):

不要把无限小与很小的数(例如 $\frac{1}{11451419260817}$)混为一谈,因为无限小是这样的函数,在 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)的过程中,这函数的绝对值小于任意给定的正数 $\varepsilon$,而很小的如 $\frac{1}{11451419260817}$,就不能小于任意给定的正数 $\varepsilon$,例如 $\varepsilon=\frac{1}{11451419260817233}$,那么 $\frac{1}{11451419260817}$ 就不能小于这个给定的正数 $\varepsilon$,但 $0$ 可以作为无穷小的唯一常数,因为 $f(x)\equiv 0$,那么对于任意给定的 $\varepsilon>0$ 总有 $|f(x)|<\varepsilon$.

下面的定理说明无穷小和函数极限的关系.

定理1

在自变量的同一变化过程 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)中,函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha$,其中 $\alpha$ 是无限小.

证:

先证明必要性.设 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$,则 $\forall\varepsilon>0$,$\exists\ \delta>0$,使当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有令 $\alpha=f(x)-A$,则 $\alpha$ 是当 $x\to x_0$ 时的无限小,且$$f(x)=A+\alpha.$$这就证明了 $f(x)$ 等于它的极限 $A$ 与一个无穷小 $\alpha$ 之和.

类似方法也可以证明 $x\to\infty$ 是的情况.

无穷大

如果 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)时,对应的函数值的绝对值 $|f(x)|$ 可以大于预先指定的任何很大的正数 $M$,那么就称函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)时的无穷大.

定义2

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义(或 $|x|$ 大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数 $M$,总存在正数 $\delta$(或正数 $X$),只要 $x$ 适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta$(或 $|x|>X$),对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式$$|f(x)|>M,$$那么称函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大.

按函数极限的定义来说,当 $x\to x_0$(或 $x\to\infty$)时的无穷大的函数 $f(x)$的极限是不存在的.但时为了便于叙述函数的这一性态,我们也说"函数的极限是无穷大",并记作$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$$(或 $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$).

如果在无穷大的定义中,把 $|f(x)|>M$ 换成 $f(x)<M$(或 $f(x)<-M$),就记作$$\mathop{\lim_{x\to x_0}f(x)}\limits_{(x\to\infty)}=+\infty$$(或 $\mathop{\lim_{x\to x_0}f(x)}\limits_{(x\to\infty)}=-\infty$).

注意:,无穷大($\infty$)不是树,不可与很大的数(如 $11451419260817$)混为一谈.

posted @ 2020-03-25 20:08 SxyLimit 阅读(458) 评论(0) 编辑收藏举报

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