「高等数学学习笔记 DAY9」

函数的极限

函数极限的性质

与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相应性质.它们都可以根据函数极限的定义,运用类似于证明收敛数列性质的证明方法证明.由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种形式,下面仅以"\(\lim_{x\to x_0}f(x)\)"这种形式为代表给出关于函数极限的一些定理,至于其他形式的定理只要稍作改变即可.

定理1(函数极限的唯一性)

如果 \(\lim_{x\to x_0}\) 存在,那么极限唯一.

定理2(函数极限的局部有界性)

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\),那么存在常数 \(M>0\) 和 \(\delta>0\),使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有 \(|f(x)|\leq M\).

证:因为 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\),所以取 \(\varepsilon=1\),则 \(\exists\ \delta>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有$$|f(x)-A|<1\Rightarrow|f(x)|\leq|f(x)-A|+|A|<|A|+1,$$记 \(M=|A|+1\),则定理 \(2\) 就获得证明.

定理3(函数极限的局部保号性)

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\),且 \(A>0\)(或 \(A<0\)),那么存在常数 \(\delta>0\),使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有 \(f(x)>0\)(或 \(f(x)<0\)).

证:就 \(A>0\) 的情形证明.

因为 \(\lim_{x\to x_0}=A>0\),所以,取 \(\varepsilon=\frac{A}{2}>0\),则 \(\exists\ \delta>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有$$|f(x)-A|<\frac{A}{2}\Rightarrow f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0.$$相同方法可以证明 \(A<0\) 的情况.

从证明中可以得到一个更强的结论:

定理3'

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A(A\not=0)\),那么就存在着 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\),当 \(x\in\mathring{U}(x_0)\) 时,就有 \(|f(x)|>\frac{|A|}{2}\).

由定理3,易得以下结论:

如果在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(f(x)\geq 0\)(或 \(f(x)\leq 0\)),而且 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\),那么 \(A\geq 0\)(或 \(A\leq 0\)).

定理4(函数极限与数列极限的关系)

如果极限 \(\lim_{x\to x_0}\) 存在.\(\{x_n\}\) 为函数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_0\) 的数列,且满足:\(x_n\not=x_0\)(\(n\in \mathbb{N}_+\)),那么相应的函数值数列 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛,且 \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{x\to x_0}f(x)\).

证:设 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\),则 \(\forall \varepsilon>0,\exists\ \delta>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\).

又因 \(\lim_{n\to\infty}x_n=x_0\),故对 \(\delta>0\),\(\exists\ N\),当 \(n>N\) 时,有 \(|x_n-x_0|<\delta\).

又假设,\(x_n\not=x_0(x\in\mathbb{N}_+)\),故当 \(n>N\) 时,\(0<|x_n-x_0|<\delta\),从而 \(|f(x_n)-A|<\varepsilon\),即 \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\).