「高等数学学习笔记 DAY8」

函数的极限

函数极限的定义

自变量趋近于有限值时函数的极限

定义1

(接上)

我们指出,定义中 \(0<|x-x_0|\) 表示 \(x\not=x_0\),所以 \(x\to x_0\) 时 \(f(x)\) 有没有极限,与 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 是否有定义无关.

定义1可以简单地表述为 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\).

函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限为 \(A\) 的集合解释可以自行百度,这里不展开.

自变量趋近于无穷大时函数的极限

如果在 \(x\to \infty\) 的过程中,对应的函数值 \(f(x)\) 无限接近于确定的数值 \(A\),那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to\infty\) 时的极限.

定义2

设函数 \(f(x)\) 当 \(|x|\) 大于某一正数时有定义.如果存在常数 \(A\),对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)(不论它多么小),总存在着正数 \(X\),使得当 \(x\) 满足不等式 \(|x|>X\) 时,对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式$$|f(x)-A|<\varepsilon,$$那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to \infty\) 时的极限,记作 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\) 或 \(f(x)\to A\)(当 \(x\to \infty\)).

可以简单表述为 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0,\exists X>0\),当 \(|x|>X\) 时,有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\).

如果 \(x>0\) 且无限增大(记作 \(x\to+\infty\)),那么只要把上面定义中的 \(|x|>X\) 改成 \(x>X\),就可以得到 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\) 的定义.同理也可以得到 \(x<0\) 且 \(|x|\) 无限增大时的定义.