「高等数学学习笔记 DAY7」
函数的极限
函数极限的定义
因为数列 \(\{x_n\}\) 可以看作自变量 \(n\) 的函数:\(x_n=f(n)\),\(n\in \mathbb{N}_+\),所以数列 \(x_n\) 的极限为 \(a\),就是:当自变量取正整数而无线增大(即 \(n\to\infty\))时,对应的函数值 \(f(n)\) 无限接近于确定的数 \(a\).把数列极限概念中的函数为 \(f(n)\) 而自变量的变化过程 \(n\to\infty\) 等特殊性撇开,这样可以引出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做这一变化过程中函数的极限.这个极限是与自变量的变化过程密切相关的,由于自变量的变化过程不同,函数的极限就表现为不同的形式.数列极限看作函数 \(f(n)\) 当 \(n\to\infty\) 时的极限,这里自变量的变化过程是 \(n\to\infty\).下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数 \(f(n)\) 的极限,只要研究两种情形:
- 自变量 \(x\) 任意接近于有限值 \(x_0\) 或者说趋近于有限值 \(x_0\)(记作 \(x\to x_0\))时,对于的函数 \(f(x)\) 的变化情形;
- 自变量 \(x\) 的绝对值 \(|x|\) 无限增大即趋近于无穷大(记作 \(x\to\infty\))时,对于的函数值 \(f(x)\) 的变化情形.
自变量趋近于有限值时函数的极限
现在考虑自变量 \(x\) 的变化过程为 \(x\to x_0\).如果 \(x\to x_0\) 的过程中,对应的函数值 \(f(x)\) 无限接近于某个确定数值 \(A\),那么就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限.当然我们这里首先假设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心领域内是有定义的.(去心邻域的定义:以 \(x_0\) 为中心的任何开区间称为点 \(x_0\) 的邻域,记作 \(U(x_0)\);在 \(U(x_0)\) 中去掉中心 \(x_0\) 后,称为点 \(x_0\) 的去心邻域,记作 \(\mathring{U}(x_0)\))
在 \(x\to x_0\) 的过程中,对于的函数值 \(f(x)\) 无限接近于 \(A\),就是 \(|f(x)-A|\) 能达到任意小.如数列极限概念所述,\(|f(x)-A|\) 能任意小这件事可以用 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) 来表达,其中 \(\varepsilon\) 是给定是任意正数.因为函数值 \(f(x)\) 无限接近于 \(A\) 是在 \(x\to x_0\) 的过程中实现的,随意对于任意给定的正数 \(\varepsilon\),只要求重复接近于 \(x_0\) 的 \(x\) 所对于的函数值 \(f(x)\) 满足不等式 \(|f(x)-A|<\varepsilon\);而重复接近于 \(x_0\) 的 \(x\) 氪表达为 \(0<|x-x_0|<\delta\),其中 \(\delta\) 是某个正数.从几何上看,适合不等式 \(0<|x-x_0|<\delta\) 的 \(x\) 的全体,就是点 \(x_0\) 的去心 \(\delta\) 领域,而领域半径 \(\delta\) 则体现了 \(x\) 接近 \(x_0\) 的程度.
定义1
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心领域内有定义.如果存在常数 \(A\),对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)(不论多么小),总存在正数 \(\delta\),使得当 \(x\) 满足不等式 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,对应函数值 \(f(x)\) 都满足不等式$$|f(x)-A|<\varepsilon,$$那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限,记作\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) 或 \(f(x)\to A(x\to x_0)\)(当 \(x\to x_0\)).
