「高等数学学习笔记 DAY4」

函数

反函数和复合函数

作为逆映射的特例,我们有以下反函数的概念:

设函数 \(f:D\to f(D)\) 是单射,则它存在逆映射 \(f^{-1}:f(D)\to D\),称此映射 \(f^{-1}\) 为函数 \(f(x)\) 的反函数.

按此定义,对于每个 \(y\in f(D)\),有唯一的 \(x\in D\),使得 \(f(x)=y\),于是有$$f^{-1}(y)=x.$$这就是说,反函数 \(f^{-1}\) 的对应法则是完全由函数 \(f\) 的对于法则所确定的.

一般地,\(y=f(x),x\in D\) 的反函数记成 \(y=f(x)^{-1},x\in f(D)\).

若 \(f\) 是定义在 \(D\) 上的单调函数,则 \(f:D\to f(D)\) 是单射,于是 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}\) 必定存在,而且容易证明 \(f^{-1}\) 是 \(f(D)\) 上单调函数(证明略).

相对于反函数 \(f^{-1}(x)\) 来说,原来函数 \(y=f(x)\) 称为直接函数.把直接函数 \(y=f(x)\) 和它的反函数 \(y=f^{-1}(x)\) 画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线 \(y=x\) 是对称的(证明略).

符合函数是符合映射的一种特例,按照通常函数的记号,符合函数的概念氪如下表述:

设函数 \(y=f(u)\) 的定义域 \(D_f\),函数 \(u=g(x)\) 的的定义域 \(D_g\),且值域 \(R_g \subset D_f\),则由下式确定的函数$$y=f[g(x)],x\in D_g$$称为由函数 \(u=g(x)\) 与函数 \(y=f(u)\) 的复合函数,它的定义域为 \(D_g\),变量 \(u\) 称为中间变量.

函数 \(g\) 与函数 \(f\) 构成的符合函数,即按想"先 \(g\) 后 \(f\)"的次寻复合的函数,通常记为 \(f \circ g\),即$$(f\circ g)(x)=f[g(x)].$$

与符合映射一样,\(g\) 和 \(f\) 能构成复合函数 \(f\circ g\) 的条件时:函数 \(g\) 的值域 \(R_g\) 必须包含于函数 \(f\) 的定义域,即 \(R_g\subset D_f\).否则,不能构成复合函数.

函数的运算

设函数 \(f(x)\),\(g(x)\) 的定义域依次为 \(D_f,D_g\),\(D=D_f \cap D_g \not= \varnothing\),则我们可以定义这两个函数的下列运算:

和(差)\(f\pm g\):\((f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D\);

积 \(f\cdot g\):\((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D\);

商 \(\frac{f}{g}\):\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D\backslash \{x|g(x)=0,x\in D\}\)

初等函数

在初等数学中已经讲过下面几类函数:

幂函数:\(y=x^{\mu}\)(\(\mu\in\mathbb{R}\)),

指数函数:\(y=a^x\)(\(a>0\) 且 \(a\not=1\))

对数函数:\(y=\log_ax\)(\(a>0\) 且 \(a\not=1\),特别当 \(a=e\) 时,记为 \(y=\ln x\)),

三角函数:如 \(y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x\) 等,

反三角函数:如 \(\arcsin x,\arccos x,\arctan x\) 等.

以上五类函数统称为基本初等函数.

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.