「高等数学学习笔记 DAY3」

函数

函数的几种特性

函数的有界性

设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\),数集 \(X \subset D\).如果存在数 \(K_1\) ,使得$$f(x)\leq k_1$$对任一 \(x\in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有上界,而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个上界.

同理,如果存在数 \(K_2\),使得$$f(x)\geq k_2$$对任一 \(x\in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有下界,而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个下界.

如果存在正数 \(M\),使得$$|f(x)|\leq M$$对任一 \(x\in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界.如果这样的 \(M\) 不存在,就称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上无界.

容易证明,函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界的充分必要条件是它在 \(X\) 上既有上界又有下界.

函数的单调性

设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\),区间 \(I\subset D\),如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 和 \(x_2\),当 \(x_1<x_2\),$$f(x_1)>f(x_2)$$恒成立,那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调上升的.

同理,如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 和 \(x_2\),当 \(x_1<x_2\),$$f(x_1)<f(x_2)$$恒成立,那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调减少的.

单调递增和单调减少的函数称为单调函数.

函数的奇偶性

设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称.如果对于任一 \(x\in D\),$$f(-x)=f(x)$$恒成立,那么称 \(f(x)\) 为偶函数.

如果对于任一 \(x\in D\),$$f(-x)=-f(x)$$恒成立,那么称 \(f(x)\) 为奇函数.

函数的周期性

设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\).如果存在一个正数 \(l\),使得对任一 \(x\in D\) 有(\(x\pm l\))\(\in D\),且$$f(x+l)=f(x)$$恒成立,那么称函数 \(f(x)\) 为周期函数,\(l\) 称为 \(f(x)\) 的周期,通常说周期函数的周期是指最小正周期.