「高等数学学习笔记 DAY2」
函数
函数的概念
定义
设数集 \(D\subset \mathbb{R}\),则称映射 \(f:D\to \mathbb{R}\) 为定义在 \(D\) 上的函数,通常记为其中 \(x\) 称为自变量,\(y\) 称为因变量,\(D\) 称为定义域,记作 \(D_f\),即 \(D_f=D\).
函数的定义中,对于每个 \(x\in D\),按法则对应 \(f\),总有位移确定的值 \(y\) 与之对应,这个值称为函数 \(f\) 在 \(x\) 处时的函数值,记作 \(f(x)\),即 \(y=f(x)\).因变量 \(y\) 与自变量 \(x\) 之间的这种依赖关系,通常称为函数关系.函数 \(f(x)\) 的全体所构成的集合称为函数 \(f\) 的值域,记作 \(D_f\) 或 \(f(D)\),即$$R_f=f(D)={y|y=f(x),x\in D}.$$按照上述定义,记号 \(f\) 和 \(f(x)\) 的含义是不同的:前者表示 \(x\) 与 \(y\) 之间的对应法则,后者表示 \(x\) 的对应的函数值.为了方便,常用 \(f(x),x\in D\) 或 \(y=f(x),x\in D\),来表示定义在 \(D\) 上的函数,这时应理解为由他所确定的函数 \(f\).
函数是实数集到实数集的映射,其值域总在 \(\mathbb{R}\) 内,因此构成函数的要素是:定义域 \(D_f\) 及其法则 \(f\).如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相等的,否则是不相等的.
函数的定义域通常按一下两种情形来确定:
- 有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.
- 如果是用算式表达的函数,通常确定这种函数的定义域是是的这个算式有意义的一切函数的集合.(例如 \(\sqrt{-1},\frac{1}{0},\)等在实数范围内无意义)
函数的主要表示方法有三种:表格法,图形法,解析法(公式法).其中用图像法表示函数是基于函数的概念,即坐标平面上的点集.
几种函数
例1
函数$$y=2$$的定义域 \(D=(-\infty,+\infty)\),值域 \(W={2}\),它的图像是一条平行与 \(x\) 轴的直线,这个函数称为常数函数.
例2
函数$$y=|x|=\begin{cases}-x, & x<0, \ x, & x \geq0 \end{cases}$$的定义域 \(D=(-\infty,+\infty)\),值域 \(R=[0,+\infty]\),这个函数称为绝对值函数.
例3
函数$$y=sgn\ x=\begin{cases}-1, & x<0,\ 0, & x=0,\ 1, & x>0\end{cases}$$的定义域 \(D=(-\infty,+\infty)\),值域 \(R_f={-1,0,1}\),这个函数称为符号函数.
例4
设 \(x\) 为任意实数,不超过 \(x\) 的最大整数称为 \(x\) 的整数部分,记作 \([x]\).(例如,\([\frac{5}{7}]=0\),\([\sqrt{2}]=1,[\pi]=3,[2]=2\) 等)把 \(x\) 看作变量,则函数$$y=[x]$$的定义域 \(D=(-\infty,+\infty)\),值域 \(R_f=\mathbb{Z}\),图形称为阶梯曲线.在 \(x\) 为整数时,图形发生跳跃,跃度为 \(1\).这个函数称为取整函数.
例5
函数$$y=f(x)=\begin{cases}2\sqrt{x}, & 0\leq x\leq 1 \ x+1, & x>1\end{cases}$$它的定义域 \(D=[0,+\infty)\).当 \(x\in[0,1]\) 时,对于的函数值 \(f(x)=2\sqrt{x}\);当 \(x\in(1,+\infty)\) 时,对应的函数值 \(f(x)=x+1\),这个函数称为分段函数(例2和例3也是分段函数).
