「高等数学学习笔记 DAY1」
映射与函数
映射的概念
定义
设 \(X,Y\) 是两个非空集合,如果存在一个法则 \(f\),使得对 \(X\) 中每一个元素 \(x\),按法则 \(f\),在 \(Y\) 中有位移确定的元素 \(y\) 与之对应,那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射,记作:$$f:X\to Y,$$
其中 \(y\) 称为元素 \(x\)(在映射 \(f\) 下)的像,并记作 \(f(x)\),即:$$y=f(x),$$而元素 \(x\) 称为元素 \(y\)(在映射 \(f\) 下)的一个原象;集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域,记作 \(D_f\),即 \(D_f=X\);\(X\) 中所有的 元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域,记作 \(R_f\) 或 \(f(X)\),即$$R_f=f(X)={f(x)|x \in X}.$$
注意点
- 必须具备的三要素:集合 \(X\),即定义域 \(D_f=X\);集合 \(Y\),即值域的范围:\(R_f\subset Y\);对应法则 \(f\),使得每个 \(x\in X\),有唯一确定的 \(y=f(x)\) 与之对应.
- 对于每个 \(x\in X\),元素 \(x\) 的像 \(y\) 是唯一的;而对于每个 \(y\in R_f\),元素 \(y\) 的原像不一定为唯一的;映射 \(f\) 的值域 \(R_f\) 是 \(Y\) 的一个子集,即 \(R_f \subset Y\),不一定 \(R_f=Y\).
例
例1
设 \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1]\),对于每个 \(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\),\(f(x)=\sin{x}\).\(f\) 是一个映射,其定义域为 \(D_f=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\),值域 \(R_f=[-1,1]\).
如果 \(Y\) 中的任意一元素 \(y\) 都是 \(X\) 中某个元素的像,则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或满射;若 \(X\) 中任意两个不同元素 \(x_1\not=x_2\),它们的像 \(f(x_1)\not=f(x_2)\),则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\)的单射,如果映射 \(f\) 既是单射又是满射,则称 \(f\) 为一一映射(或双射).
映射又称算子.根据集合 \(X,Y\) 的不同情形,在不同的数学分支中,映射有不同的名称.例如:泛函,变换,函数.
逆映射与复合映射
逆映射
设 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的单射,对于每个 \(y\in R_f\),有唯一的 \(x\inX\),适合和 \(f(x)=y\),我们可以定义一个从 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(g\),即$$g:R_f\to X$$,对于每个 \(y\in R_f\),规定 \(g(y)=x\),这 \(x\) 满足 \(f(x)=y\),这个映射 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射,记作 \(f^{-1}\),其定义域 \(D_{f^{-1}}=R_f\),值域 \(R_{f^{-1}}=X\).
只有单射才存在逆映射.例1中的映射 \(f\) 存在逆映射 \(f^{-1}\),这个逆映射就是反正弦函数的主值$$f^{-1}(x)=\arcsin{x},x\in[-1,1]$$,其定义域 \(D_{f^{-1}}=[-1,1]\),值域 \(R_{f^{-1}}=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
复合映射
设有两个映射$$g:X\to Y_1,$$ $$f:Y_2\to Z,$$其中 \(Y_1\subset Y_2\),则由映射 \(g\) 和 \(f\) 可以得出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则,这个法则确定了一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的映射,这个映射称为 \(g\) 和 \(f\) 的复合映射,记作 \(f\circ g\),即$$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[f(x)],x\in X.$$
由符合映射的定义可知 \(R_g\subset D_f\).否则,不能组成符合映射.由此可知映射 \(g\) 和 \(f\) 的符合是有顺序的,\(f\circ g\) 有意义并不表示 \(g\circ f\)也有意义.即使都有意义,也未必相同.
例
例2
设有映射 \(g:\mathbb{R}\to[-1,1]\),对于每个 \(x\in \mathbb{R},g(x)=\sin{x}\);映射 \(f:[-1,1]\to[0,1]\),对于每个 \(u\in[-1,1],f(u)=\sqrt{1-u^2}\),则映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射 \(f\circ g:\mathbb{R}\to[0,1]\),对于每个 \(x\in \mathbb{R}\),有$$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=f(\sin{x})=\sqrt{1-\sin^2{x}}=|\cos{x}|.$$
