树状数组
摘抄于 半根毛线_树状数组彻底入门
int lowbit(int t) { return t&(-t); } void add(int x,int y) { for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=y; } int getsum(int x) { int ans=0; for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=tree[i]; return ans; }
树状数组 重点是在树状的数组
大家都知道二叉树吧
叶子结点代表A数组A[1]~A[8]
现在变形一下
现在定义每一列的顶端结点C[]数组
如下图
C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例
如图可以知道
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
下面观察如下图
将C[]数组的结点序号转化为二进制
1=(001) C[1]=A[1];
2=(010) C[2]=A[1]+A[2];
3=(011) C[3]=A[3];
4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101) C[5]=A[5];
6=(110) C[6]=A[5]+A[6];
7=(111) C[7]=A[7];
8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;
可以自行带入验证;
现在引入lowbit(x)
lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同 理解一下
下面说代码
int lowbit(int t){return t&(-t);}//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示//例如 :// t=6（0110） 此时 k=1//-t=-6=(1001+1)=(1010)// t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*************************************************分割线
区间查询
ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和
举个例子 i=7;
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];
可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];
序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
再举个例子 i=5
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];
可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用
结合代码
int getsum(int x){int ans=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))ans+=C[i];return ans；}
对于i=7 进行演示
7(111) ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
对于i=5 进行演示
5(101) ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
*************************************************分割线
单点更新
当我们修改A[]数组中的某一个值时 应当如何更新C[]数组呢？
回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图
结合代码分析
void add(int x,int y){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))tree[i]+=y;}//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程//由叶子结点向上更新C[]数组
如图：
当更新A[1]时 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]
C[1], C[2], C[4], C[8]
写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]
1(001) C[1]+=A[1]
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]
