96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

方法一：动态规划 

代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(n == 0 || n == 1) return n;
        vector<int> a(n + 1,0);
        a[0] = 1, a[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;++i){
            for(int j = 1;j <= i;++j) {
                a[i] += a[i-j]*a[j-1];
            }
        }
        return a[n];
    }
};

思路：可怜的我完全没有思路。最后这里还是要感谢官方题解。这里我用自己的语言来复述一些官方动归的思路。

为了便于推导出递推公式，需要借助两个函数：

G(n):长度为n的整数能生成的二叉树的种类

F(i,n):以i为根的二叉树的种类，其中(1≤i≤n)

那么应当有\[G(n) = \sum\limits_{i = 1}^n {F(i,n)} \]

。因为以i为根则生成的二叉树不同，所以最后G(n)可以看成是以i(1≤i≤n)为根的所有类型二叉树种类的和。

对于F(i,n)，其所能生产的二叉树种类可以看成子问题(1,i-1)和(i+1,n)两部分组成的种类的积。

 

所以\[F(i,n) = G(i - 1)G(n - i)\]，因此可以求出递推方程\[G(n) = \sum\limits_{i = 1}^n {G(i - 1)G(n - i)}\]。

分析：最后时间复杂度为O(n²），空间复杂度O(n)。

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方法二：数学演绎法

其实这里的G(n)就是所谓的卡特兰数，因此可以用通项公式直接求出来，这里采用了递推公式

\[{C_0} = 1,{C_{n + 1}} = \frac{{2(2n + 1)}}{{n + 2}}{C_n}\]

可以直接推导出结果。

代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int c = 1;
        for(int i = 1;i<n;++i){
            c *=2*(2*n+1)/(n+2);
        }
        return c;
    }
};

结论：时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(1)。

写在最后：卡特兰数虽然有通项公式

\[{C_n} = \frac{1}{{n + 1}}C_{2n}^n\]

但是求解起来并不简单啊，还不如乖乖地推。