机器学习基石14-Regularization

注：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程。
笔记原作者：红色石头
微信公众号：AI有道

上节课介绍了过拟合发生的原因：excessive power, stochastic/deterministic noise 和limited data。并介绍了解决overfitting的简单方法。本节课，我们将介绍解决overfitting的另一种非常重要的方法：Regularization规则化。

一、Regularized Hypothesis Set

先来看一个典型的overfitting的例子：

如图所示，在数据量不够大的情况下，如果我们使用一个高阶多项式（图中红色曲线所示），例如10阶，对目标函数（蓝色曲线）进行拟合。拟合曲线波动很大，虽然\(E_{in}\)很小，但是\(E_{out}\)很大，也就造成了过拟合现象。

那么如何对过拟合现象进行修正，使hypothesis更接近于target function呢？一种方法就是regularized fit。

这种方法得到的红色fit曲线，要比overfit的红色曲线平滑很多，更接近与目标函数，它的阶数要更低一些。那么问题就变成了我们要把高阶（10阶）的hypothesis sets转换为低阶（2阶）的hypothesis sets。通过下图我们发现，不同阶数的hypothesis存在如下包含关系：

我们发现10阶多项式hypothesis sets里包含了2阶多项式hypothesis sets的所有项，那么在\(\mathcal{H}_{10}\)中加入一些限定条件，使它近似为\(\mathcal{H}_{2}\)即可。这种函数近似曾被称之为不适定问题（ill-posed problem）。
如何从10阶转换为2阶呢？首先， \(\mathcal{H}_{10}\)可表示为：$$\mathcal{H}{10}=w_0+w_1x+w_2x^2+w_3x3+...+wx^{10}$$ 而\(\mathcal{H}_2\)可表示为：$$\mathcal{H}2=w_0+w_1x+w_2x^2$$ 所以，如果限定条件是\(w_3=w_4=...=w_{10}=0\)，那么就有\(\mathcal{H}_2=\mathcal{H}_{10}\)。也就是说，对于高阶的hypothesis，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重\(w\)限制为0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶，fit波形更加平滑，不容易发生过拟合。

那有一个问题，令\(\mathcal{H}_{10}\)高阶权重\(w\)为0，为什么不直接使用\(\mathcal{H}_2\)呢？这样做的目的是拓展我们的视野，为即将讨论的问题做准备。刚刚我们讨论的限制是\(\mathcal{H}_{10}\)高阶部分的权重\(w\)限制为0，这是比较苛刻的一种限制。下面，把这个限制条件变得更宽松一点，即令任意8个权重\(w\)为0，并不非要限定\(w_3=w_4=...=w_{10}=0\)，这个Looser Constraint可以写成：$$\sum^{10} [ w_q\neq 0 ]\leq 3$$ 也就只是限定了\(w\)不为0的个数，并不限定必须是高阶的\(w\)。这种hypothesis记为\(\mathcal{H}^{'}_2\)，称为sparse hypothesis set，它与\(\mathcal{H}_2\)和\(\mathcal{H}_{10}\)的关系为：$$\mathcal{H}_2 \subset \mathcal{H}^{'}2 \subset \mathcal{H}$$

Looser Constraint对应的hypothesis应该更好解一些，但事实是sparse hypothesis set被证明也是NP-hard，求解非常困难。所以，还要转换为另一种易于求解的限定条件。

寻找一种更容易求解的宽松的限定条件Softer Constraint，即：$$\sum^{10}_{q=0}w2_q=|w|^2 \leq C$$ 其中，\(C\)是常数，也就是说，所有的权重\(w\)的平方和的大小不超过\(C\)，我们把这种hypothesis sets记为\(\mathcal{H}(C)\)。
\(\mathcal{H}^{'}_2\)与\(\mathcal{H}(C)\)的关系是，它们之间有重叠，有交集的部分，但是没有完全包含的关系，也不一定相等。对于\(\mathcal{H}(C)\)，\(C\)值越大，限定的范围越大，即越宽松：$$\mathcal{H}(0)\subset \mathcal{H}(1.126) \subset \cdots \subset \mathcal{H}(1126) \subset \cdots \subset \mathcal{H}(\infty) = \mathcal{H}_{10} $$ 当\(C\)无限大的时候，即限定条件非常宽松，相当于没有加上任何限制，就与\(\mathcal{H}_{10}\)没有什么两样。\(\mathcal{H}(C)\)称为regularized hypothesis set，这种形式的限定条件是可以进行求解的，我们把求解的满足限定条件的权重\(w\)记为\(w_{REG}\)。接下来就要探讨如何求解\(w_{REG}\)。

二、Weight Decay Regularization

现在，针对\(\mathcal{H}(C)\)，即\(\mathcal{H}_{10}\)加上限定条件，问题变成：

我们的目的是计算\(E_{in}(w)\)的最小值，限定条件是\(\|w\|^2\leq C\)。这个限定条件从几何角度上的意思是，权重\(w\)被限定在半径为\(\sqrt{C}\)的圆内，而球外的\(w\)都不符合要求，即便它是靠近\(E_{in}(w)\)梯度为零的\(w\)

下面用一张图来解释在限定条件下，最小化\(E_{in}(w)\)的过程：

如上图所示，假设在空间中的一点\(w\)，根据梯度下降算法，\(w\)会朝着\(-\nabla E_{in}\)的方向移动（图中蓝色箭头指示的方向），在没有限定条件的情况下，\(w\)最终会取得最小值\(w_{lin}\)，即“谷底”的位置。现在，加上限定条件，即\(w\)被限定在半径为\(\sqrt{C}\)的圆内，\(w\)距离原点的距离不能超过圆的半径，如图中红色圆圈所示\(w^Tw=C\)。那么，这种情况下，\(w\)不能到达\(w_{lin}\)的位置，最大只能位于圆上，沿着圆的切线方向移动（图中绿色箭头指示的方向）。与绿色向量垂直的向量（图中红色箭头指示的方向）是圆切线的法向量，即\(w\)的方向，\(w\)不能靠近红色箭头方向移动。那么随着迭代优化过程，只要\(-\nabla E_{in}\)与\(w\)点切线方向不垂直，那么根据向量知识， \(-\nabla E_{in}\)一定在\(w\)点切线方向上有不为零的分量，即\(w\)点会继续移动。只有当\(-\nabla E_{in}\)与绿色切线垂直，即与红色法向量平行的时候， \(-\nabla E_{in}\)在切线方向上没有不为零的分量了，也就表示这时\(w\)达到了最优解的位置。
有了这个平行的概念，我们就得到了获得最优解需要满足的性质：$$\nabla E_{in}(w_{REG})+\frac{2\lambda}{N}w_{REG}=0$$ 上面公式中的\(\lambda\)称为Lagrange multiplier，是用来解有条件的最优化问题常用的数学工具，\(\frac{2}{N}\) 是方便后面公式推导。那么我们的目标就变成了求解满足上面公式的\(w_{REG}\)。

之前我们推导过，线性回归的\(E_{in}\)的表达式为：$$E_{in}=\frac{1}{N}\sum^N_{n=1}(xT_nw-y_n)^2$$ 计算\(E_{in}\)梯度，并代入到平行条件中，得到：$$\frac{2}{N}(Z^TZw_{REG}-ZTy)+\frac{2\lambda}{N}w_{REG}=0$$ 这是一个线性方程式，直接得到\(w_{REG}\)为：$$w_{REG}=(Z^TZ+\lambda I)^{-1}ZTy$$ 上式中包含了求逆矩阵的过程，因为\(Z^TZ\)是半正定矩阵，如果\(\lambda\)大于零，那么\(Z^TZ+\lambda I\)一定是正定矩阵，即一定可逆。另外提一下，统计学上把这叫做ridge regression，可以看成是linear regression的进阶版。

如果对于更一般的情况，例如逻辑回归问题中， \(\nabla E_{in}\)不是线性的，那么将其代入平行条件中得到的就不是一个线性方程式， 不易求解。下面我们从另一个角度来看一下平行等式：$$\nabla E_{in}(w_{REG})+\frac{2\lambda}{N}w_{REG}=0$$ 已知\(\nabla E_{in}\)是\(E_{in}\)对\(w_{REG}\)的导数，而\(\frac{2\lambda}{N}w_{REG}\)也可以看成是\(\frac{\lambda}{N}w^2_{REG}\)的导数。那么平行等式左边可以看成一个函数的导数，导数为零，即求该函数的最小值。也就是说，问题转换为最小化该函数: $$E_{aug}(w)=E_{in}(w)+\frac{\lambda}{N}w^Tw$$ 该函数中第二项就是限定条件regularizer，也称为weight-decay regularization。我们把这个函数称为Augmented Error，即\(E_{aug}(w)\)。

如果\(\lambda\)不为零，对应于加上了限定条件，若\(\lambda\)等于零，则对应于没有任何限定条件，问题转换成之前的最小化\(E_{in}(w)\)。

下面给出一个曲线拟合的例子， \(\lambda\)取不同的值时，得到的曲线也不相同：

从图中可以看出，当\(\lambda=0\)时，发生了过拟合；当\(\lambda=0.0001\)时，拟合的效果很好；当\(\lambda=0.01\)和\(\lambda=1\)时，发生了欠拟合。我们可以把\(\lambda\)看成是一种penality，即对hypothesis复杂度的惩罚， \(\lambda\)越大，\(w\)就越小，对应于\(C\)值越小，即这种惩罚越大，拟合曲线就会越平滑，高阶项就会削弱，容易发生欠拟合。\(\lambda\)一般取比较小的值就能达到良好的拟合效果，过大过小都有问题，但究竟取什么值，要根据具体训练数据和模型进行分析与调试。

事实上，这种regularization不仅可以用在多项式的hypothesis中，还可以应用在logistic regression等其他hypothesis中，都可以达到防止过拟合的效果。
我们目前讨论的多项式是形如\(x,x^2,x^3,...,x^n\)的形式，若\(x\)的范围限定在\([-1,1]\)之间，那么可能导致\(x^n\)相对于低阶的值要小得多，则其对于的\(w\)非常大，相当于要给高阶项设置很大的惩罚。为了避免出现这种数据大小差别很大的情况，可以使用
Legendre Polynomials代替\(x,x^2,x^3,...,x^n\)这种形式，Legendre Polynomials各项之间是正交的，用它进行多项式拟合的效果更好。

三、Regularization and VC Theory

下面我们研究一下Regularization与VC理论之间的关系。Augmented Error表达式如下：$$E_{aug}(w)=E_{in}(w)+\frac{\lambda}{N}w^Tw$$ VC Bound表示为：$$E_{out}(w)\leq E_{in}(w)+\Omega(\mathcal{H})$$ 其中\(w^Tw\)表示的是单个hypothesis的复杂度，记为\(\Omega(w)\)；而\(\Omega{\mathcal{H}}\)表示整个hypothesis set的复杂度。根据Augmented Error和VC Bound的表达式，\(\Omega(w)\) 包含于 \(\Omega(\mathcal{H})\)之内，所以， \(E_{aug}(w)\)比\(E_{in}\)更接近于\(E_{out}\)，能更好地代表\(E_{out}\)。

根据VC Dimension理论，整个hypothesis set的\(d_{VC}=\tilde{d}+1\)，这是因为所有的\(w\)都考虑了，没有任何限制条件。而引入限定条件的\(d_{VC}(\mathcal{H}(C))=d_{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A})\)，即有效的VC dimension。也就是说， \(d_{VC}(\mathcal{H})\)比较大，因为它代表了整个hypothesis set，但是\(d_{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A})\)比较小，因为由于regularized的影响，限定了\(w\)只取一小部分。其中\(\mathcal{A}\)表示regularized算法。当\(\lambda>0\)时，有：$$d_{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A})\leq d_{VC}$$ 这些与实际情况是相符的，比如对多项式拟合模型，当\(\lambda=0\)时，所有的\(w\)都给予考虑，相应的\(d_{VC}\)很大，容易发生过拟合。当\(\lambda>0\)且越来越大时，很多\(w\)将被舍弃，\(d_{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A}\)减小，拟合曲线越来越平滑，容易发生欠拟合。

四、General Regularizers

那么通用的Regularizers，即\(\Omega(w)\)，应该选择什么样的形式呢？一般地，我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：

• target-dependent
• plausible
• friendly

其实这三种方法跟之前error measure类似，其也有三种方法：

• user-dependent
• plausible
• friendly

regularizer与error measure是机器学习模型设计中的重要步骤。

接下来，介绍两种Regularizer：L2和L1。L2 Regularizer一般比较通用，其形式如下：$$\Omega(w)=\sum^Q_{q=0}w2_q=|w|^2_2$$ 这种形式的regularizer计算的是\(w\)的平方和，是凸函数，比较平滑，易于微分，容易进行最优化计算。
L1 Regularizer的表达式如下：$$\Omega(w)=\sum^Q_{q=0}|w_q|=|w|_1$$ L1计算的不是\(w\)的平方和，而是绝对值和，即长度和，也是凸函数。已知\(w^Tw=C\)围成的是圆形，而\(\|w\|_1=C\)围成的是正方形，那么在正方形的四个顶点处，是不可微分的（不像圆形，处处可微分）。根据之前介绍的平行等式推导过程，对应这种正方形，它的解大都位于四个顶点处（不太理解，欢迎补充赐教），因为正方形边界处的\(w\)绝对值都不为零，若\(-\nabla E_{in}\)不与其平行，那么\(w\)就会向顶点处移动，顶点处的许多\(w\)分量为零，所以，L1 Regularizer的解是稀疏的，称为sparsity。优点是计算速度快。

下面来看一下\(\lambda\)如何取值，首先，若stochastic noise不同，那么一般情况下， \(\lambda\)取值有如下特点：

从图中可以看出，stochastic noise越大，\(\lambda\) 越大。另一种情况，不同的deterministic noise， \(\lambda\) 取值有如下特点：

从图中可以看出，deterministic noise越大，\(\lambda\) 越大。

以上两种noise的情况下，都是noise越大，相应的\(\lambda\)也就越大。这也很好理解，如果在开车的情况下，路况也不好，即noise越多，那么就越会踩刹车，这里踩刹车指的就是regularization。但是大多数情况下，noise是不可知的，这种情况下如何选择\(\lambda\)？这部分内容，我们下节课将会讨论。

五、总结

本节课主要介绍了Regularization。首先，原来的hypothesis set加上一些限制条件，就成了Regularized Hypothesis Set。加上限制条件之后，我们就可以把问题转化为\(E_{aug}\)最小化问题，即把\(w\)的平方加进去。这种过程，实际上会降低VC Dimension。最后，介绍regularization是通用的机器学习工具，设计方法通常包括target­-dependent，plausible，friendly等等。下节课将介绍如何选取合适的\(\lambda\) 来建立最佳拟合模型。