机器学习基石6-泛化理论
注：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程。
笔记原作者：红色石头
微信公众号：AI有道
上一节课，主要探讨了\(M\)的数值大小对机器学习的影响。如果\(M\)很大，那么就不能保证机器学习有很好的泛化能力，所以问题转换为验证\(M\)有限，最好是按照多项式成长。然后通过引入了成长函数\(m_H(N)\)和dichotomy以及break point的概念，提出2D perceptrons的成长函数\(m_H(N)\)是多项式级别的猜想。这就是本节课将要深入探讨和证明的内容。
一、Restriction of Break Point
回顾一下上节课的内容，四种成长函数与break point的关系：
下面引入一个例子，如果\(k=2\)，那么当\(N\)取不同值的时候，计算其成长函数\(m_H(N)\)是多少。很明显，当\(N=1\)时， \(m_H(N)=2\),；当\(N=2\)时，由break point为2可知，任意两点都不能被shattered（shatter的意思是对\(N\)个点，能够分解为\(2^N\)种dichotomies）；最大值只能是3；当\(N=3\)时，简单绘图分析可得\(m_H(N)=4\)，即最多只有4种dichotomies。
可以发现当\(N>k\)时，break point限制了\(m_H(N)\)值的大小
也就是说影响成长函数\(m_H(N)\)的因素主要有两个：
- 抽样数据集\(N\)
- break point \(k\)
那么，如果给定\(N\)和\(k\)，能够证明\(m_H(N)\)的最大值的上界是多项式的，则根据霍夫丁不等式，就能用\(m_H(N)\)代替\(M\)，得到机器学习是可行的。所以，证明\(m_H(N)\)的上界是Poly(N)，是我们的目标
二、Bounding Function: Basic Cases
现在，引入一个新的函数：bounding function，\(B(N,k)\)。Bound Function指的是当break point为\(k\)的时候，成长函数\(m_H(N)\)可能的最大值。也就是说\(B(N,k)\)是\(m_H(N)\)的上界，对应\(m_H(N)\)最多有多少种dichotomy。那么，我们新的目标就是证明：$$B(N,k)\leq Poly(N)$$
这里值得一提的是，\(B(N,k)\)的引入不考虑是1D postive intrervals问题还是2Dperceptrons问题，而只关心成长函数的上界是多少，从而简化了问题的复杂度。
求解\(B(N,k)\)的过程十分巧妙：
- 当\(k=1\)时，\(B(N,1)\)恒为1
- 当\(N<k\)时，根据break point的定义，容易得到\(B(N,k)=2^N\)
- 当\(N=k\)时，此时\(N\)是第一次出现不能被shatter的值，所以最多只能有\(2^N-1\)个dichotomies，\(B(N,k)=2^N-1\)
到此，bounding function的表格已经填了一半了，对于最常见的\(N>k\)的情况比较复杂，推导过程下一小节再详细介绍。
三、Bounding Function: Inductive Cases
\(N>k\)的情况较为复杂，下面给出推导过程：
以\(B(4,3)\)为例，首先想着能否构建\(B(4,3)\)与\(B(3,x)\)之间的关系。首先，把\(B(4,3)\)所有情况写下来，共有11组。也就是说再加一种dichotomy，任意三点都能被shattered，11是极限。
\(B(4,3)\)表示break point 为3，4个点，按二元分类，总共有\(N=2^4\)种，从这\(N=2^4\)种中选取排列组合，共\(C^0_N+C^1_N+...+C^N_N=2^{2^4}\)种选择。
对这11种dichotomy分组，分为两组，分别是orange和purple，orange的特点是，\(X_1\),\(X_2\)和\(X_3\)是一致的，\(X_4\)不同并成对，例如1和5，2和8。purple则是单一的，\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)都不同，例如6,7,9三组。
将Orange去掉\(X_4\)后去重得到4个不同的vector并成为\(\alpha\)，相应的purple为\(\beta\)。那么\(B(4,3)=2\alpha+\beta\)，这个是直接转化。紧接着，由定义，\(B(4,3)\)是不能允许任意三点shatter的，所以由\(\alpha\)和\(\beta\)构成的所有三点组合也不能shatter（alpha经过去重），即\(\alpha+\beta\leq B(3,3)\)。
另一方面，由于\(\alpha\)中\(X_4\)是成对存在的，且是不能被任意三点shatter的，则能推导出\(\alpha\)是不能被任意两点shatter的。这是因为，如果\(\alpha\)能被任意两点shatter，而\(X_4\)又是成对存在的，那么\(X_1\)、\(X_2\)、\(X_3\)、\(X_4\)组成的\(2\alpha\)必然能被三个点shatter。这就违背了条件的设定。这个地方的推导非常巧妙，也解释了为什么会这样分组。此处得到的结论是\(\alpha\leq B(3,2)\)
由此得出\(B(4,3)\)与\(B(3,x)\)的关系为
最后得出泛化的公式：
根据推导公式，下表给出\(B(N,k)\)的值
递推，推导出\(B(N,k)\)满足下列不等式
上述不等式的右边\(N\)的最高阶是\(k-1\)，也就是说成长函数\(m_H(N)\)的上界\(B(N,k)\)的上界满足多项式分布\(poly(N)\)。
得到了\(m_H(N)\)的上界\(B(N,k)\)的上界满足多项式分布\(poly(N)\)后，回过头来看看之前介绍的几种类型它们的\(m_H(N)\)与break point的关系：
得到的结论是，对于2D perceptrons，break point为\(k=4\)，\(m_H(N)\)的上界是\(N^{k-1}\)。推广一下，也就是说，如果能找到一个模型的break point，且是有限大的，那么就能推断出其成长函数\(m_H(N)\)有界。
四、A Pictorial Proof
我们已经知道了成长函数的上界是\(poly(N)\)的，下一步，如果能将\(m_H(N)\)代替\(M\)，代入到Hoffding不等式中，就能得到\(E_{out} \approx E_{in}\)的结论：
实际上并不是简单的替换就可以了，正确的表达式为：
这部分的证明，有待进一步查找资料。
通过引入成长函数\(m_H\), 得到如下一个新的不等式，成为Vapnik-Chervonenkis(VC) bound:
对于2D perceptrons，它的break point是4，那么成长函数\(m_H(N)=O(N^3)\)。所以，我们可以说2D perceptrons是可以进行机器学习的，只要找到hypothesis能让\(E_{in}\approx 0\)，就能保证\(E_{in}\approx E_{out}\)。
五、总结
本节课我们主要介绍了只要存在break point，那么其成长函数\(m_H(N)\)就满足\(poly(N)\)。推导过程是先引入\(m_H(N)\)的上界\(B(N,k)\)，\(B(N,k)\)的上界是\(N\)的\(k-1\)阶多项式，从而得到\(m_H(N)\)的上界就是\(N\)的\(k-1\)阶多项式。然后，我们通过简单的三步证明，将\(m_H(N)\)代入了Hoffding不等式中，推导出了VapnikChervonenkis(VC) bound，最终证明了只要break point存在，那么机器学习就是可行的。
