傅里叶分析讲解三
引用:https://www.jianshu.com/p/f5a89d76eb28
上一篇中简单介绍了什么是傅里叶级数,最后得到了在周期为的傅里叶级数的系数解,那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢?
我们先看在周期为的函数傅里叶级数表达:
其对应的解为:
如何将其变为任意周期的函数呢?
其实这里只需要简单的换元操作即可。
举个栗子:其周期为
,
。我们令
,则
,整理下:
所以在对于t来说就变换成了周期为的函数。
so对于周期为(方便计算)的函数f(t) 只需令
带入原周期为
的函数即可:
同样的可以得到:
最后我们得到:
过程很简单,我就省略了,毕竟人生苦短。
2 傅里叶级数的复数形式
我们在写一下傅里叶级数的公式:
其中T代表函数的周期,也就是上面的2L,对应的解就是:
想要得到傅里叶级数的复数形式,需要先了解下欧拉公式。
关于欧拉公式,网上有很多的博客,这里就不细说了,只是简单说下欧拉公式的本质。
我们先看下公式:
可以看作是复平面上的一个向量,其到实轴的投影是
,到虚轴的投影是
,其中
便是向量与实轴的夹角。
![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/14409048-e31192e5e8611504.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/787/format/webp)
而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动
![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/14409048-4b350ccb4bef1e3a.gif?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/708/format/webp)
随着变化,
就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径,当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。
而且通过欧拉公式,我们可以得到三角函数的复数形式:
将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到:
我们令中的n为-n
则得到:
所以可以看到n的范围变成了 到
,并且每一项都有
,于是我们可以得到一个漂亮的形式:
其中分为3中情况:
我们将傅里叶级数之前的解带入上边
当n=0的时候:
当
的时候
这里因为cos是偶函数,sin是奇函数所以:
当 的时候
可以惊奇的发现,三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数,我们都可以写成:
但其中的每一项是什么意思呢?
还记得之前说的的本质吗?在圆上做圆周运动,那么
也是在做周期运动了。那
又是什么呢?
我们知道,所以我们可以把
看成是以
为单位的频率(正常来讲频率是
)。而系数
是就可以看成是几倍的基频,正数是逆时针运动,负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是,频率越高,转的越快了
,但其最小公共周期是一样的。
1倍基频
![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/14409048-5acbd16638ca03a4.gif?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/634/format/webp)
10倍基频
![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/14409048-373a4c8e8e1899f9.gif?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/634/format/webp)
那么系数怎么理解呢?前面说过
的系数a是代表
运动的圆半径,这里
是复数是不是也能这样理解呢?其实粗糙来讲是可以这样理解的。
看个图,只管的理解下把
![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/14409048-bf905e664d7f2095.gif?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/543/format/webp)
上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数
的模长乘以1,当然除此之外,红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加,模长相乘。
这下,当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上,你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍,2倍,3倍.......的,而每个
都有自己的幅长
,当把这些所有的
相加,就得到时域中的图像。
更加生动有趣的介绍可以参见傅里叶分析之掐死教程,我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。
3 推广到非周期函数上
目前该证明的都差不多了,还有最后一个任务,就是推广到非周期函数上。对于非周期函数,我们可以看成是周期无限远的函数,那也就是周期T变成的时候傅里叶级数。随则T的变大
也就不断的减小,当T趋近于
的时候,
也由
变成了
,那么很自然就需要对
做积分。
我们先看下
当T趋近于 的时候 我们可以得到:
将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于,就得到:
其中画红圈的地方就是傅里叶变换
![](https://upload-images.jianshu.io/upload_images/14409048-751add2452b5209d.png?imageMogr2/auto-orient/strip|imageView2/2/w/352/format/webp)
一般写成一个关于的函数,其实就相当于前面的:
而整个公式就是傅里叶逆变换,写成: