abc240g

abc240 g

只考虑 $0\le X,Y,Z$ 的情况，显然小于 0 时的路径可以与大于 0 的一一对应。

考虑我们三个方向的增量分别需要 $X,Y,Z$，剩下的步数显然是通过走一步该方向又走回来这样子消耗。

记 $m=\frac{N-X-Y-Z}{2}$。如果 $N-X-Y-Z$ 是奇数或者 $N<X+Y+Z$ 就无解。

枚举三个方向分别多走了几步。

假设我们在 $X$ 方向多走了 $i$ 步，那么需要用 $i$ 步再走回来。

$$\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{X+i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-X-i}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-X-2\times i}{Y+j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-x-2\times i-Y-j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-x-2\ast i-Y-2\ast j}{Z+m-i-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-x-i-Y-j-Z-m}{m-i-j})$$

发现这是个多重集组合数，可以给它变成

$$\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^{m-i}\frac{N!}{(x+i)!i!(Y+j)!j!(Z+m-i-j)!(m-i-j)!}$$

把与 $j$ 无关的提出来

$$\sum _{i=0}^m\frac{N!}{(x+i)!i!}\sum _{j=0}^{m-i}\frac{1}{(Y+j)!j!(Z+m-i-j)!(m-i-j)!}$$

希望后面那一坨带 $j$ 的式子优美一点，发现 $Y+j+m-i-j=Y+m-i,Z+m-i-j+j=Z+m-i$，给他重新凑一下组合系数

$$\sum _{i=0}^m\frac{N!}{(x+i)!i!(Y+m-i)!(Z+m-i)!}\sum _{j=0}^{m-i}\frac{(Y+m-i)!}{(Y+j)!(m-i-j)!}\frac{(Z+m-i)!}{(Z+m-i-j)!j!}$$

$$=\sum _{i=0}^m\frac{N!}{(x+i)!i!(Y+m-i)!(Z+m-i)!}\sum _{j=0}^{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{Y+m-i}{Y+j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{Z+m-i}{Z+m-i-j})$$

对后面那个式子使用范德蒙德卷积

$$\sum _{i=0}^m\frac{N!}{(x+i)!i!(Y+m-i)!(Z+m-i)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{Y+Z+2\times m-2\times i}{Y+Z+m-i})$$

时间复杂度 $O(N)$。