土拨鼠

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• Sol

 

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土拨鼠

小X在设想自己2027年毕业后的生活。

在他的设想中，他回到乡下种土豆。但是田地需要恰当的管理措施，其中之一是防止土拨鼠破坏土豆。

小X设想的 $n+1$ 块土豆田排在一条直线上，从左到右编号为 $0$ 到 $n$。第 $i$块土豆田里有i株各不相同的土豆，其中 $0$ 号土豆田是土拨鼠的巢。

每一个时刻，土拨鼠会离开当前所在的土豆田去往下一块土豆田。若土拨鼠当前所在的土豆田编号为i
，那么它能到达的下一块土豆田的编号 $j$ 必须满足 $j-i\in S$，其中S中只包含不大于 $15$ 的正整数。若 $i\ge 0$，土拨鼠在离开的同时还会破坏第 $i$ 块土豆田中的至多一棵土豆。

小X想知道，对于给定的正整数 $n$，若土拨鼠最后到达了 $n$ 号土豆田，它有多少种破坏土豆田的方案。两种方案不同当且仅当土拨鼠经过的路径不同，或破坏的土豆不同。注意，此时 $N$ 号土豆田上的土豆并没有被破坏。

由于答案可能很大，小X只要知道这个方案数对2027取模的结果。

$n\le {10}^{18},|S|\le 15$，对于所有 $t\in S,1\le t\le min(n,15)$。

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$Sol$

设 $f_i$ 为到 $i$ 点时的方案数，考虑一个 $j\in S$，在 $i-j$ 上有 $i-j$ 个土豆，可以选择破坏 $0,1,...,i-j$ 个，一共 $i-j+1$ 个方案，故得到转移方程

$$f_i=\sum _{j\in S}(i-j+1)\times f_j$$

式子非常简单，但是 $n$ 特别大，考虑矩阵加速。

直接做的话每次的转移系数不同，不好做，但是模数比较小，这启发我们 $f_i$ 与 $f_{i+2027}$ 的转移矩阵是一样的，于是我们可以把前2027个矩阵先暴力推出来，然后分为 $n/2027$ 和 $n$ 去做。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 2027;
ll n;
int m;
int a[20];
struct Matrix {
	int n, m;
	int c[20][20];
	void init(int _n, int _m) {
		n = _n, m = _m;
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
			for(int j = 1; j <= m; j ++) c[i][j] = 0;
	}
	Matrix operator *(const Matrix t) const {
		static Matrix res;
		res.init(n, t.m);
		for(int i = 1; i <= res.n; i ++)
			for(int j = 1; j <= res.m; j ++)
				for(int k = 1; k <= m; k ++) {
					res.c[i][j] = (res.c[i][j] + c[i][k] * t.c[k][j]) % mod;
				}
		return res;
	}
} base, ans, cur[2030];
Matrix power(Matrix a, ll b) {
	Matrix res;
	res.init(15, 15);
	for(int i = 1; i <= 15; i ++) {
		res.c[i][i] = 1;
	}
	for(; b; a = a * a, b /= 2) if(b & 1) res = res * a;
	return res;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i ++) {
		cin >> a[i];
	}
	ans.init(1, 15), base.init(15, 15);
	ans.c[1][1] = 1;
	for(int i = 1; i <= 15; i ++) {
		base.c[i][i] = 1;
	}
	for(int i = 1; i <= 2027; i ++) {
		Matrix &t = cur[i];
		t.init(15, 15);
		for(int j = 1; j <= 14; j ++) {
			t.c[j][j + 1] = 1;
		}
		for(int j = 1; j <= m; j ++) {
			t.c[a[j]][1] = (i - a[j] + 1 + mod) % mod;
		}
		base = base * t;
	}
	ans = ans * power(base, n / 2027);
	for(int i = 1; i <= n % 2027; i ++) {
		ans = ans * cur[i];
	}
	cout <<	ans.c[1][1] << '\n';
    return 0;
}