CF54C First Digit Law 题解

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$Solution$：

一个比较简单的数位 dp处理技巧加上一个暴力的 dp。

设 $p_i$ 为区间 $[l_i,r_i]$ 中出现 $1$ 开头的数的概率。

考虑 $solve(x)$ 函数为求出 $[1,x]$ 中开头为 $1$ 的个数。

显然低于 $x$ 的位数的数是全部能取到的，这时候开头为 $1$ 的个数有 $\sum _{i=1}^{len-1}{10}^{i-1}$ 个，再考虑位数等于 $x$ 的位数的数。

如果 $x$ 的开头大于 $2$ 的话，显然这一位的是可以全部取到的，小于 $2$ 的话就加上 $x-{10}^{len-1}+1$ 即可。

算出概率后就可以直接 dp 了。

设 $f[i][j]$ 为前 $i$ 个区间有 $j$ 个 $1$ 开头的数的概率。

显然有方程：

$$f[i][j]=f[i-1][j]\times (1-p[i])+f[i-1][j-1]\times p[i]$$

代码