本文讨论的是惠斯通电桥与热电阻的实际应用，不讨论理论知识，关于惠斯通电桥的理论知识请看这篇文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/267085334

1. 四分之一桥

　　使用Multisim仿真，搭建一个电桥，其中R2,R3,R4都为120Ω，R1是阻值随温度变化的电阻，假设R1的电阻为250Ω（因为温度变化导致电阻增加了130Ω），假设Vs为2.5V，此时根据公式Vo = Vs * (R2 / (R1 + R2) - R4 / (R3 + R4))计算得出，Vo ≈ -439mV，仿真结果如下：

　　

　　仿真结果与计算值相同。意思就是如果我们知道Vo的电压为-439mV，那么我们就知道R1增加了130Ω，进而可以算出温度变化。

　　但是实际情况往往是R1会拉很长的线连出去，线上也是有电阻的，并且线上的电阻也是随温度变化的（任何材料的电阻都会随温度变化而变化），那么实际的模型就会变成下面的模型：

　　

　　a等效线上的电阻，此时Vo为-461mV，我们认为R1的电阻增加了140Ω，而实际上只增加了130Ω，有10Ω是导线引入的，这样就带来了误差。

　　有一个方法可以减小这种误差，在R1的其中一端引出2根导线，按照下图的接法连接：

　　

　　这样得到的Vo是-428mV，当R2=R3=R4时，这3种情况Vo的计算方法分别为：

　　

 　　结果是：

　　

 　　并且通过仿真也验证了，当R1=3R2时，2根线和3根线的误差相同，如下图：

　　

　　如果传感器接到R2的位置，用同样的方法计算得出，当R2≤3R1时，接3根线的误差才会比接2根线的误差更小，R3,R4同理。

　　也就是说，“使用四分之一桥，3根线的接法误差比2根线的接法误差更小”这句话是有前提条件的，前提条件就是变化的电阻不能比其他电阻的3倍要大，因此必须根据温度的变化范围去选择合适的阻值，否则效果会更差。

　　在实际使用时按照理想情况去计算，无论将变化的电阻接到R1还是R2的位置，Vo的值与可变电阻之间的关系都是反比例函数，并且接R1和接R2时他们的导数互为相反数，结论就是将任何一个电阻充当可变电阻，它们的精度都是相同的。因此不需要考虑到底将桥中哪个电阻充当可变电阻，因为它们都是一样的。

　　并且根据反比例函数的性质可以知道，当电阻的值越大时，导数的绝对值越小，意味着电桥（Vo）对电阻的变化越不敏感（电桥中任何一个电阻都是如此）。因此如果想要电桥的精度更高，那么电阻的选取要尽可能小，但同时要满足可变电阻最大值的3倍比其他固定电阻的值要大。

2. 热电阻温度与阻值计算

　　先说一下热电阻的型号定义，以PT100举例，PT指的是铂，100指的是该电阻在0℃时呈现的阻值为100Ω，那么CU50指的就是该电阻的材料是铜，在0℃时的阻值为50Ω。

　　铂热电阻（常见的如PT100，PT1000等）温度与阻值的关系为 RT = R0(1 + AT + BT² + C(T-100)T³) ，铜热电阻（常见的有CU50等）温度与阻值的关系为 RT = R0(1 + AT + BT(T-100) + C(T-100)T²)，其中R0表示该电阻在0℃时的阻值，单位Ω，对于不同的电阻A,B,C的值会不同，如下：

  PT100 PT1000 CU50
R0 100 1000 50
A 0.0039083 0.0038623139728 0.00428
B -0.0000005775 -0.00000065314932626 -0.0000000931
C

当T≤0时 -0.000000000004183

当T＞0时，0

 0 0.00000000123

　　网上的那些分度表都是用这个公式生成的，下面的程序可以直接生成这3种型号的分度表：

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <sys/types.h>
  3 #include <fcntl.h>
  4 #include <sys/stat.h>
  5 #include <math.h>
  6 #include <string.h>
  7 
  8 /* 定义热电阻的型号 */
  9 //char RES_TYPE[16] = "PT100";
 10 //char RES_TYPE[16] = "PT1000";
 11 char RES_TYPE[16] =    "CU50";
 12 
 13 /**
 14  * \brief 铂热电阻温度与阻值的关系为 RT = R0(1 + AT + BT² + C(T-100)T³) 
 15  *          铜热电阻温度与阻值的关系为 RT = R0(1 + AT + BT(T-100) + C(T-100)T²)
 16  * 其中R0表示该电阻在0℃时的阻值，单位Ω
 17  * 对于不同的电阻A,B,C的值会不同
 18  */
 19 
 20 int main(int argc, const char *argv[])
 21 {
 22     double R0, A, B, C;    
 23     double min_t, max_t, step;    /* min_t是最小测量温度，max_t是最大测量温度，step是温度步长 */
 24     double result = 0;
 25     double i, j;
 26     
 27     int k;
 28     int fd;
 29     char buff[256] = { 0 };
 30     char acc[16] = { 0 };    /* 打印精度 */
 31     
 32     if (argc == 2) {
 33         strcpy(RES_TYPE, argv[1]);
 34     }
 35     
 36     if (!strcmp(RES_TYPE, "PT100")) {
 37         R0 = 100;
 38         A = 0.0039083;
 39         B = -0.0000005775;
 40         C = -0.000000000004183;
 41         min_t = -200;
 42         max_t = 660;
 43         step = 1;
 44         strcpy(acc, "%.02f,");    /* 保留2位小数 */
 45     } else if (!strcmp(RES_TYPE, "PT1000")) {
 46         R0 = 1000;
 47         A = 0.0038623139728;
 48         B = -0.00000065314932626;
 49         C = 0;
 50         min_t = -50;
 51         max_t = 300;
 52         step = 0.1;
 53         strcpy(acc, "%.03f,");    /* 保留3位小数 */
 54     } else if (!strcmp(RES_TYPE, "CU50")) {
 55         R0 = 50;
 56         A = 0.00428;
 57         B = -0.0000000931;
 58         C = 0.00000000123;
 59         min_t = -50;
 60         max_t = 150;
 61         step = 1;
 62         strcpy(acc, "%.03f,");    /* 保留3位小数 */
 63     } else {
 64         printf("暂不支持该型号！\n");
 65         return 0;
 66     }
 67     
 68     //printf("A = %f\nB = %f\nC=%f\n", A, B, C); //可以看浮点数有截断误差
 69 
 70     strcpy(buff, RES_TYPE);
 71     strcat(buff, "热电阻常用阻值对应表.csv");
 72     fd = open(buff, O_CREAT | O_RDWR | O_TRUNC, 0666);
 73     if (fd < 0) {
 74         printf("open failed\n");
 75         return 0;
 76     }
 77     memset(buff, 0, sizeof(buff));
 78     
 79     /* 写入横轴 */
 80     strcpy(buff, "温度℃,");
 81     write(fd, buff, strlen(buff));
 82     for (k = 0; k < 10; k++) {
 83         sprintf(buff, "%f,", k*step);
 84         write(fd, buff, strlen(buff));
 85     }
 86     write(fd, "\r\n", 2);
 87 
 88     for (i = min_t; i <= 0; i += 10 * step) {
 89         sprintf(buff, "%f,", i);
 90         write(fd, buff, strlen(buff));
 91         for (j = 0; j < 10; j += step) {
 92             if (!strcmp(RES_TYPE, "CU50")) {
 93                 result = R0 * (1 + A * (i - j) + B * (i - j) * (i - j - 100) + C * (i - j - 100) * (i - j) * (i - j));
 94             } else {
 95                 //result = R0 * (1 + A * (i - j) + B * pow((i - j), 2) + C * (i - j - 100) * pow((i - j), 3));
 96                 result = R0 * (1 + A * (i - j) + B * (i - j) * (i - j) + C * (i - j - 100) * (i - j) * (i - j) * (i - j));
 97             }
 98             sprintf(buff, acc, result);
 99             write(fd, buff, strlen(buff));
100             if (i == min_t) {
101                 break;
102             }
103         }
104         write(fd, "\r\n", 2);
105     }
106     for (i = 0; i <= max_t; i += 10 * step) {
107         sprintf(buff, "%f,", i);
108         write(fd, buff, strlen(buff));
109         for (j = 0; j < 10; j += step) {
110             if (!strcmp(RES_TYPE, "CU50")) {
111                 result = R0 * (1 + A * (i + j) + B * (i + j) * (i + j - 100) + C * (i + j - 100) * (i + j) * (i + j));
112             } else {
113                 //result = R0 * (1 + A * (i + j) + B * pow((i + j), 2));
114                 result = R0 * (1 + A * (i + j) + B * (i + j) * (i + j));
115             }
116             sprintf(buff, acc, result);
117             write(fd, buff, strlen(buff));
118             if (i == max_t) {
119                 break;
120             }
121         }
122         write(fd, "\r\n", 2);
123     }
124 
125     close(fd);
126 
127     return 0;
128 }

　　有几个需要注意的点：

　　1. 因为浮点数存在截断误差，所以通过这个程序计算出来的值，与真实值略有出入（可以忽略）；

　　2. 通过这个方法计算出来的PT100和CU50的表与网上的其他表一致，但是PT1000不一致（差别很小），经过验证发现网上的PT1000的分度表实际上是用PT100的参数计算出来的，我简直呵呵了，公式都摆在那，那些人都不自己算一遍的吗。

3. PT100和PT1000精度比较

　　通过上一节算出来，当温度从0℃增加到1℃时，PT100的电阻增加0.39Ω，PT1000的电阻增加3.862Ω（网上的表是3.908Ω），可见PT1000增加的电阻是PT100的10倍，是不是意味着PT1000精度是PT100的10倍呢？从第1节的计算结果得出，当电阻值越大时，惠斯通电桥对电阻的变化越不敏感，它们是一个反比例函数的关系。

　　假设我们需要测量的温度不会大于150℃，此时PT100的阻值是157.33欧姆，PT1000的阻值是1564.651Ω，根据第1节算出来的电阻选取规则，使用PT100时，其他电阻选用56Ω比较合适，使用PT1000时其他电阻选用560Ω比较合适。

　　假设PT100的电阻是k，那么相同温度下PT1000的电阻就为10k，Vo的值用下面的公式计算：

　　

 　　这时就发现一个问题，Vo的值是一模一样的。也就是说，如果使用惠斯通电桥测温度，PT100和PT1000在精度上没有任何差别。

4. 放大倍数及电路确定

　　以PT100为例，固定电阻为56Ω，假设使用温度范围为-20℃~150℃，PT100的阻值变化范围为92.16Ω~157.33Ω，Vo的值范围为305mV~594mV（取绝对值）。而一般的ADC能采集0~3.3V的电压（单端电压），因此为了提高精度，可以将电压放大5倍（需要选用差分放大器），这样电压范围会变为1.525V~2.97V，更好的利用的ADC的采集范围，以此提高精度。

　　可以使用INA128U对信号进行放大，INA128U的放大倍数为1+50K/RG，取RG为12.5k，那么放大倍数就是5，仿真如下图：

　　

　　其中INA128U的6号引脚输出电压是经过放大后的电压值再加上5号引脚的电压，因此，如果想要继续提示精度，可以算出温度变化范围内电压的差值，为594-305=289mV，为了尽可能达到3.3V的满量程，可以将放大倍数调整到11倍，同时在5号引脚施加一个偏置电压，让INA128U的输出电压落在0~3.3V的区间内，按照下图所示方法连接，当温度达到最大值150℃时，放大器输出最小值(-0.594*11)+6.6=0.066V，当温度达到最小值-20℃时，放大器输出(-0.305*11)+6.6=3.245V

 　　仿真结果与计算结果基本一致：

　　

　　

 5. 使用惠斯通电桥与电阻分压测电阻的优点分析

5.1 从计算方法考虑

　　热敏电阻使用3线制接法，先看直接分压的情况，如下图：

 Vo的计算公式为：

 　　可见Vo是Rx的反比例函数。随着Rx的增加，Vo的变化会越来越不明显。

　　再看惠斯通电桥的情况：

　　

 　　Vo的计算公式为：

　　

 　　这与电阻直接分压的算法差不多，只不过是括号里多减了个1/2，而且它们的导数是相同的，并且它们受到线上电阻a的影响是一样的，这意味着从计算方法上看，惠斯通电桥法与电阻分压法是完全一样的。

5.2 从特殊情况考虑

　　我们知道惠斯通电桥有一种平衡状态，就是Vo为0的情况，此时有一个特性，就是：

 　　一般让R2,R3,R4都相等，记作R，此时

　　化简之后得到Rx=R，此时式子里没有a，也就是说当电桥平衡时，即Vo=0时，惠斯通电桥可以完全消除线上电阻的影响，得到的结果是最精确的。

　　但是电阻分压法就不能有这个优点吗？

　　电阻分压法的特殊情况是Vo=1/2Vs，此时Rx+a=R2+a，Rx=R2，同样消除了线上电阻的影响。

　　但是！当惠斯通电桥达到平衡状态时，不需要考虑参考电压Vs，无论Vs的值为多少，Vo的值都是0，而电阻分压法的平衡状态是Vo=1/2Vs，Vo的值会受Vs的影响。所以惠斯通电桥真正的优点是：在平衡状态时消除了参考电源的影响

 　　不过话又说回来，因为被测电阻是变化的，要使惠斯通电桥达到平衡状态，需要改变其他3个电阻的值，在实际情况下这是不现实的。

6. 推荐使用方法（使用运算放大器）

　　既然惠斯通电桥的优点那么不明显，那就直接用简单的电阻分压法吧。

　　将PT100串联一个56Ω的电阻测量2个电阻之间的电压，当温度变化范围为-20℃~150℃时，PT100的阻值变化范围为92.16Ω~157.33Ω，Vo的值范围为656mV~945mV，假设ADC的采样范围为0~3.3V，那么可以将电压放大3倍，得到的电压范围为1.968V~2.835V，这样虽然将采样精度提高了3倍，但是0~1.968V这个区域浪费了。最好的情况就是656mV~945mV这个范围刚好能对应上0~3.3V的范围，这时就要用运算放大器了，将其作为一个减法器放大。具体接法如下图：

 　　必须用电压跟随，否则Ux的值会随着放大倍数的改变而改变。

　　Ux的值最小为657mV，那么就在另一端造一个657mV出来，如下图：

　　

 　　为了留点余量，这里造出来的电压是639mV。然后将这两个电压接到减法器里，如下图：

 

　根据运放的特性，得到以下2个式子：

 　　联立化简得到如下式子：

 　　现在认为制造一种特殊情况，就是R1=R2，R3=R4，那么上面的式子就可以化简为：

 　　

 　　如果再让R3=R1，那么此时Uo=Ux-Ua，这就是减法器。

　　但是我们还是要利用一个R3/R1这个数，因为Ua是我们造出来的电压，它等于Ux的最小值，此时Uo的值为0，而当，Ux变化到945mV时，我们希望Uo的值尽可能接近3.3V，那么就可以取R3=11R1，此时放大倍数为11倍，最大输出电压为3.179V，尽可能的利用了ADC的采样范围。

 　　而实际情况需要留一些余量，按照上面的接法，让Ua的值为639mV，比Ux的最小值再小一点，放大倍数设为10倍，理论上输出电压值范围在180mV~3.06V之间，尽可能的利用了ADC的采样范围。

补充：

　　虽然理想运放最大输出电压接近电源电压，但是要根据实际情况而定，比如我使用的LM324，手册上说的是：Large Output Voltage Swing: 0V to VCC-1.5V，因此他的输入电源要大于3.3+1.5=4.8V，取5V比较合适。