lambda演算入门
介绍如何进行简单lambda演算的计算（规约）：形如下面这样的题目：
intro
https://www.jianshu.com/p/ebae04e1e47c 这一篇很清晰，基本涵盖了本文的内容。
可跳过本节，基本对做题没帮助
关键字
小写单字符用以命名参数，也叫变量（数学含义的）。
外加四个符号'('，')'，'.'，'λ'。
由它们组成符号串叫λ表达式，核心λ演算表达式是非常冗长的(见下文).为了清晰和简炼，再加上一类符号：
大写单字符、 特殊字符(如+、-、*、/)、大小写组成的标识符代替一个λ表达式。
EBNF语法
<λ-表达式> ：： = <变量>
| λ<变量>.<λ-表达式>
| (<λ-表达式><λ-表达式>)
| (<λ-表达式>)
<变量> ：： =<字母>
表达式的四种形式分别对应：（表达式也称公式，）[1]
- 标识符引用（Identifier reference）：标识符引用就是一个名字（实参），这个名字用于匹配函数表达式中的某个参数名。
- 函数定义：Lambda演算中的函数是一个表达式，写成：
lambda x . body，表示“一个参数(形参）为x的函数，它的返回值为body的计算结果。” 这时我们说：Lambda表达式绑定了参数x。 - 函数应用（Function application）：函数应用写成把函数值放到名字前面的形式，如
(lambda x . plus x x) y。 - 加括号仍是表达式
变量
作为变量的标识符可以代表参数或名字。
闭包（closure）或者叫完全绑定（complete binding）。在对一个Lambda演算表达式进行求值的时候，不能引用任何未绑定的标识符。如果一个标识符是一个闭合Lambda表达式的参数，我们则称这个标识符是（被）绑定的；如果一个标识符在任何封闭上下文中都没有绑定，那么它被称为自由变量。
函数
函数是头等程序对象（函数是值），可作为函数的输入输出。
缩写与变形
-
用λ演算表示计算首先要表示域，由于λ演算系统的值也是公式，则每个域中先定义最基本几个公式，其它值通过演算实现。这样，表示计算的问题全集中在λ演算上了。由于λ演算中一切语义概念均用λ表达式表达。为了清晰采用命名替换使之更易读。
T = λx.λy.x //逻辑真值 F = λx.λy.y //逻辑假值 1 = λx.λy.x y //数1 2 = λx.λy.x(x y) //数2 n=λx.λy.x(x(…(x y)…)//n个x zerop = λn.n(λx.F)T //判零函数 + = add = λx.λy.λa.λb.((x a)(y a)b)zerop中的F、T可以用λ表达式展开，其它用法同。
-
库里化：将两个参数的函数变为两个单参数函数：写只有一个参数的函数，而这个函数返回一个带一个参数的函数。
库里化的原因是 核心的λ演算只有单目运算，例如：add 1它返回的结果是函数，再应用到后面的表达式上。这样，3+4就写add 3 4，add 3返回“加3函数”应用到4上当然就是7。写全了是：
（λx.λy.λa.λb.((x a)(y a) b )）(λp.λq.(p p(p q)))(λs.λt.(s s s(s t))) =λa.λb.(a(a(a(a(a(a(a b)))))))
λa.λb.λc.λz.E = λabcz.E
= λ(abcz).E
= λ(a，b，c，z).E
= λa.(λb.(λc.(λz.E)))//库里化，因为语法中lambda后只有一个 变量
- 命名 以大写单字符或标识符命名其λ表达式：
G = (λx.(y(yx)))
((λx.(y(yx)))(λx.(y(yx)))) = (G G) = H
规约
Lambda演算（规约）只有两条真正的法则：称为Alpha和Beta。Alpha也被称为「转换」，Beta也被称为「规约」。λ函数的语义是它应用到变元上所实现的数学函数计算。从符号演算的角度应用就是符号表达式的归约(reduction)，归约将复杂的表达式化成简单形式，即按一定的规则对符号表达式进行置换。
法则
(1) β归约，β归约的表达式是一个λ应用表达式(λx.M N)，其左边子表达式是λ函数表达式，右边是任意λ表达式。β归约以右边的λ表达式置换函数体M中λ指明的那个形参变量。形式地，我们用[N/x,M]表示对（λx.M N）的置换。
先看一例，相互归约的符号标以下横线。
例11-4 归约数1的后继
(succ 1) => (λn. (λx.λy.n x(x y))1) //写出succ的λ表达式
=> (λx.λy.（1 x(x y))）
=> (λx.λy.（(λp.λq.p q) x(x y))） //写出1的λ表达式
=> (λx.λy.（(λq. x q)(x y))
=> (λx.λy.x(x y))=2 //按定义
(2) α 换名 归约中如发生改变束定性质，则允许换名(λ后跟的变量名)，以保证原有束定关系。例如：
(λx. (λy.x)) (z y) //(z y)中y是自由变量
=> λy.(z y) //此时(z y)中y被束定了，错误！
=> (λx.(λw.x))(z y) //因(λy.x)中函数体无y，可换名
=> λw.(z y) // 正确！
(3) η 归约 是消除一层约束的归约，形如λx.F x的表达式若x在F中不自由出现，则：
λx.F x => F
它的逆是任何一个F都可以加一套λx( )x，只要x在F中不自由出现。
显然，λx.f(x) => f 是β归约的特例。
优先级 【难点】
注意规约中的优先级比较混乱，其实按照λ演算的运算规则，谁先归约最后归约其结果是一样的。（Church-Rosser定理）每次归约只要找到可归约的子公式(λ应用表达式，即一个是λ函数表达式，一个是变元)即可归约，λ演算没有规定顺序。
比如
λx.λy.x y a b
= λx.(λy.x y) a b //库里化的定义
=(λy.a y) b //合并前三项
=a b//去掉括号，括号可以任意添加，然后合并前三项
空格是可以无视的，主要看括号。那些基本范式的参数后面的body是默认加括号的，比如zerop = λn.n(λx.F)T 其实应该是λn.(n(λx.F)T)
其实括号也是随意的 以下表达式有相同的语义：
(fa)，f(a)，(f)a，(f)(a)，((f)(a))
比如
λa.λb.((1 a) (1 a) b)
= λa.λb.((1 a) 1 a b )
= λa.λb.((1 a) λx. λy. x y a b)
= λa.λb.((1 a) (a b))
= λa.λb.(( λx. λy. x y a) (a b))
= λa.λb.( λx. λy. x y a (a b))//去括号
= 2
不过2的范式里确实是有括号的，这一点很迷
规约的语义
对应用表达式符号归约时，当施行（除α规则外）所有变换规则后没有新形式出现，则这种λ表达式叫范式。（并非所有λ表达式均可归约为范式。前述(λx.x x)(λx.x x)为不可归约的。）范式即λ演算的语义解释，归约后形如λx.F它就是函数，形如x x，(y (λx.z))就只能解释为数据了，只可以把它放在另一个应用中作变元进一步归约。
一些规则
有以下规则：
[1]若x不在M中自由出现，结果为M；
[2]若M = x,结果为N；
[3]若M = λy.k, x≠y,y不在N中自由出现，结果为λy.[N/x,k]；
[4]若M = λy.k, x≠y,y在N中自由出现，结果为λz.[N/x,[z/y,k]],z≠x≠y且不在M,N
