concrete maths ch4 number theory

ch4 number theory

数论研究正数的性质

1.整除

\ gcd lcm 扩展欧几里得。

整除求和\(\sum_{n|m}\)的几个公式。ch2的知识会很有用。

2.质数

Fundamental Theorem of Arithmetic：

根据唯一分解定理，每个数可以用质数的次数数组表示：

\[(n_2,n_3,n_5...) \]

这样\ gcd lcm都有了新的定义。这种形式后面也会用到

3.质数example

欧几里得数

定义

根据质数有无数个证明的证明形式得到欧几里得数(Euclid numbers)

\[e_n = e_1e_2 ... e_{n-1} + 1\\ e_1=1 \]

性质

欧几里得数e1~e5,e6是质数，其它（<=e19）不是。

根据欧几里得算法欧几里得数互质。

递推式为：

\[e_n=e^2_{n-1}-e_{n-1}+1 \]

公式为：\(E \approx 1.264\)是无理数。

\[e_n=\lfloor E^{2^n}+1/2\rfloor \]

一个类似的得到质数的公式：

\[p_n=\lfloor P^{3^n}\rfloor \]

这样的公式没有实际用途的，因为里面的常数是根据数列推算出来的。

梅森数

定义

\(2^p-1\)的数

性质

有特殊的方法进行素数测试。

\(2^pk+1\)也有一些特殊性质。

质数的密度

\(P_n \approx n \ln n\)

\(\pi(x)\approx \frac{x}{\ln x}\)

4.阶乘的近似和质因数分解

指数上的不等式放缩得到阶乘的上下界。

阶乘质因数分解公式

5.互质

记\(m\perp n\),给出了一些唯一分解定理数组和向量垂直的类比，和性质。

Stern-Brocot tree

构造与定义：

从\(\frac{0}{1},\frac{1}{0}\)开始相邻的两个分数分子分母分别相加，得到的数写在它们之间。

把每次迭代得到的新数写在一层中，每一层称Farey series \(F_n\)

可以得到一棵SB树。

性质：

SB树包含了所有有理数，不重不漏。

可用LR串来代表任意有理数。L代表向左儿子转移，resp.R

知LR串求有理数可以用矩阵转移。

知有理数求LR串可以用二分加转移。

6.模 ：一致关系与CRT

这里我们对整个等式取模，$a\equiv b(\mod m) $ 读作a is congruent to b modulo m（同余/全等）. 可以理解为\(a-b=km\)

模相同下可以下加减乘，除分类讨论：

\[ad \equiv bd(\mod m )\leftrightarrow a\equiv b(\mod \frac{m}{gcd(d,m)}) \]

模不同可以互相推导：

\[a \equiv b(\mod md )\rightarrow a \equiv b(\mod d ) \]

\[a \equiv b(\mod m ),a \equiv b(\mod n )\rightarrow a \equiv b(\mod lcm(m,n) ) \]

特别地，当\(m\perp n\)时，就是CRT的形式。

7.CRT应用：独立余

同余的一个应用是 residue number system（余数系统）即把x表示为模一些两两互质的数的余数。

\[Res(x) = (x \mod m_1, ... , x \mod m_r) \]

对余数数组的每个元素分别加减 除（需讨论） 等价于对原数的运算。用CRT得到x

讨论了\(x^2\equiv1\)的解

例题

P4139 上帝与集合的正确用法

hdu多校第六场 1006 Faraway

8.一些定理 费马小定理，威尔逊定理

证明了引理

\[0 \mod m, n \mod m, 2n \mod m, ..., (m- 1)n \mod m\\ consist\ of\ 0, d, 2d, ..., m- d \]

然后证明了费马小定理

\[n^{p-1}\equiv 1(\mod p) \]

用上一节\(x^2\equiv1\)的结论证明了Wilson's theorem:

\[(n - 1)! \equiv -1 (mod n)\leftrightarrow \ n\ is\ prime, \]

9.phi 和 mu 积性函数

\(\phi(n)\)是0~m-1中与m互质的数的数量。gcd（x，0）==x??

积性函数

根据定义，尤其再质数处的函数值决定。

\(x^2\equiv1\)的解的数量也是积性函数。

用分数的最简形式 farey series证明了

\[\sum_{d|n}\phi(d)=n \]

证明了g(n)是积性的。

\[g(n)=\sum_{d|n}\phi(d) \]

mu

定义

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

性质

莫比乌斯反演

mu(d)的计算

phi前缀和

例题

本质不同的项链种类 polya？？