动态规划讲解

https://tangshusen.me/2019/11/24/knapsack-problem/

 

https://mp.weixin.qq.com/s?src=11&timestamp=1596210639&ver=2494&signature=ebLRWzj10GYY8W5wWUipHYsbdDQIO7q-NwsWE7QNR52R67ZrtYBrX7oaXp3bvDtR3xXCoqpJbAc9NooN0fijlMufdXxT-MhpIRfAm30g1Fek7gVDFGO1t6s0LuFYtWiV&new=1

 

0/1背包

//01背包问题伪代码（空间优化版）
dp[0,...,W]=0;
for i=1,...,N
    for j=W,...w[i]//必须逆向枚举!!!
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])
        
//完全背包问题思路伪代码（空间优化）
dp[0,...,W]=0;
for i=1,...,N
    for j=w[i],...,W//必须正向枚举！！！
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])
//恰好装满要注意初始化值，重量为0时最大价值为0，dp[0]=0;而当重量不为0时，暂时不知道最大价值，但是由于后面要max，所以初始化Integer.MIN_VALUE;
//求方案数总和

 

时间复杂度O(NW),空间复杂度O(W)

package com.dj;
​
​
import java.util.Arrays;
​
public class test {
    // 所有的物品
    private Knapsack[] bags;
    // 物品的数量
    private int n;
    // 背包总承重
    private int totalWeight;
    // 第一维：当前第几个物品；第二维：当前的背包承重；值：当前背包最大价值
    private int[][] bestValues;
    private int[] res;
    // 最终背包中最大价值
    private int bestValue;
​
    public test(Knapsack[] bags, int totalWeight) {
        this.bags = bags;
        this.totalWeight = totalWeight;
        this.n = bags.length;
        if (bestValues == null) {
            // 考虑0的状态+1，防止数组角标越界
            bestValues = new int[n + 1][totalWeight + 1];
        }
        if(res==null){
            res=new int[totalWeight+1];
        }
    }
    public void solve2(){
        //对一维数组F进行初始化，即当背包不放入物品，其最大价值均为0
        for(int i=0;i<=totalWeight;i++){
            res[i]=0;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j=totalWeight;j>=0;j--){
                if(j>=bags[i-1].getWeight()){
                    res[j]=Math.max(res[j],res[j-bags[i-1].getWeight()]+bags[i-1].getValue());
                }else{//可省略
                    res[j]=res[j];
                }
            }
        }
        System.out.println(res[totalWeight]);
    }
    public void solve() {
        // 遍历背包的承重
        for (int j = 0; j <= totalWeight; j++) {
            // 遍历指定物品
            for (int i = 0; i <= n; i++) {
                // 当背包不放入物品或承重为0时，其最大价值均为0
                if (i == 0 || j == 0) {
                    bestValues[i][j] = 0;
                } else {
                    // 如果第 i个物品重量大于总承重，则最优解存在于前 i-1 个背包中
                    if (j < bags[i - 1].getWeight()) {
                        bestValues[i][j] = bestValues[i - 1][j];
                    } else {
                        // 如果第 i个物品不大于总承重，则最优解要么是包含第 i个背包的最优解，
                        // 要么是不包含第 i个背包的最优解， 取两者最大值
                        int weight = bags[i - 1].getWeight();
                        int value = bags[i - 1].getValue();
                        bestValues[i][j] = Math.max(bestValues[i - 1][j], value
                                + bestValues[i - 1][j - weight]);
                    }
                }
            }
        }
​
        bestValue = bestValues[n][totalWeight];
    }
​
    public int getBestValue() {
        return bestValue;
    }
​
    public static void main(String[] args) {
        Knapsack[] bags = new Knapsack[] { new Knapsack(2, 13),
                new Knapsack(1, 10), new Knapsack(3, 24), new Knapsack(2, 15),
                new Knapsack(4, 28), new Knapsack(5, 33), new Knapsack(3, 20),
                new Knapsack(1, 8) };
        int totalWeight = 12;
        test problem = new test(bags, totalWeight);
        problem.solve();
        System.out.println(problem.getBestValue());
        problem.solve2();
    }
}
​
class Knapsack{
    /** 物品重量 */
    private int weight;
    /** 物品价值 */
    private int value;
​
    public Knapsack(int weight, int value) {
        this.weight = weight;
        this.value = value;
    }
​
    public int getWeight() {
        return weight;
    }
​
    public void setWeight(int weight) {
        this.weight = weight;
    }
​
    public int getValue() {
        return value;
    }
​
    public void setValue(int value) {
        this.value = value;
    }
​
}

石头碰撞问题

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/9dd19c9305704138bdf83e2dffdcb4f4?f=discussion 来源：牛客网

 

给定一组石头，每个石头有一个正数的重量。每一轮开始的时候，选择两个石头一起碰撞，假定两个石头的重量为x，y，x<=y,碰撞结果为

1. 如果x==y，碰撞结果为两个石头消失

2. 如果x != y，碰撞结果两个石头消失，生成一个新的石头，新石头重量为y-x

   最终最多剩下一个石头为结束。求解最小的剩余石头质量的可能性是多少。

输入描述:

第一行输入石头个数(<=100)
​
第二行输入石头质量，以空格分割，石头质量总和<=10000

输出描述:

最终的石头质量

示例1

输入

6
2 7 4 1 8 1

输出

1

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/9dd19c9305704138bdf83e2dffdcb4f4?f=discussion
来源：牛客网
​
package com.dj;
​
import java.util.*;
​
​
public class test {
​
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        sc.nextLine();
        int[] stones = new int[n] ;
        for(int i = 0; i < n;i++){
            stones[i] = sc.nextInt();
        }
        int ans = lastStoneWeightII(stones);
        System.out.println(ans);
        int res=helper(stones);
        System.out.println(res);
    }
​
    public static int helper(int[] stones){
        int len = stones.length;
        /* 获取石头总重量 */
        int totalStone = 0;
        for (int i : stones) {
            totalStone += i;
        }
​
        int maxCapacity = totalStone / 2;
        int[] dp = new int[totalStone+1];
        for(int i = 1; i < len + 1; i++){
            for (int j = maxCapacity; j >= 1; j--){
                if (j - stones[i - 1] < 0){
                    dp[j]=dp[j];
                }else{
                    dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i-1]]+stones[i-1]);
                }
            }
        }
        return totalStone - 2 * dp[maxCapacity];
    }
    public static int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        /*
         1.换一种想法，就是将这些数字分成两拨，使得他们的和的差最小
         2.因此可以简单地把所有石头看作两堆,假设总重量为 sum,
         则问题转化为背包问题：如何使两堆石头总重量接近 sum / 2
         3.两堆石头的价值(重量)都只能接近
         */
        int len = stones.length;
        /* 获取石头总重量 */
        int totalStone = 0;
        for (int i : stones) {
            totalStone += i;
        }
​
        int maxCapacity = totalStone / 2;
        /*
         1.这个是0-1背包的dp定义，dp[i][w]:  前i个商品，当容量为w时，最大价值为dp[i][w]
         2.对照一下此题dp数组定义，dp[i][j]: 前i个石头，当容量为j时，最大重量为dp[i][j]
        */
        int[][] dp = new int[len + 1][totalStone + 1];
​
​
        for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < maxCapacity + 1; j++) {
                if (j - stones[i - 1] < 0) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return totalStone - 2 * dp[len][maxCapacity];
​
    }
}

二维01背包问题求最大价值

474. 一和零

难度中等185

在计算机界中，我们总是追求用有限的资源获取最大的收益。

现在，假设你分别支配着 m 个 0 和 n 个 1。另外，还有一个仅包含 0 和 1 字符串的数组。

你的任务是使用给定的 m 个 0 和 n 个 1 ，找到能拼出存在于数组中的字符串的最大数量。每个 0 和 1 至多被使用一次。

注意:

1. 给定 0 和 1 的数量都不会超过 100。

2. 给定字符串数组的长度不会超过 600。

示例 1:

输入: Array = {"10", "0001", "111001", "1", "0"}, m = 5, n = 3
输出: 4
​
解释: 总共 4 个字符串可以通过 5 个 0 和 3 个 1 拼出，即 "10","0001","1","0" 。

示例 2:

输入: Array = {"10", "0", "1"}, m = 1, n = 1
输出: 2
​
解释: 你可以拼出 "10"，但之后就没有剩余数字了。更好的选择是拼出 "0" 和 "1" 。

分析：题目给定一个仅包含0和1字符串的数组。任务是从数组中选取尽可能多的字符串，使这些字符串包含的0和1的数目分别不超过m和n。

我们把每个字符串看做是一件物品，把字符串中0的数目和1的数目看做是两种“重量”，所以就变成了一个二维01背包问题，书包的两个限重分别是m和n，要求书包能装下的物品的最大数目（也相当于价值最大，设每个物品的价值为1）.

我们提前把每个字符串的两个“重量”w0,w1算出来用数组存放，但是注意到只需要用一次这两个值，所以我们只需在用到的时候计算w0和w1就行了，这样就不用例外的数组存放。

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        if(strs==null) return 0;
        int num=strs.length;
        int w0,w1;
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        for(int i=1;i<=num;i++){
            w0=0;
            w1=0;
            for(char ch:strs[i-1].toCharArray()){
                if(ch=='0') w0++;
                else w1++;
            }
​
            for(int j=m;j>=w0;j--){
                for(int k=n;k>=w1;k--){
                    dp[j][k]=Math.max(dp[j][k],1+dp[j-w0][k-w1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

 

恰好装满0/1背包问题计算方案数

dp[i][j]=sum(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]])

494. 目标和

难度中等338

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出：5
解释：
​
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3
​
一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

• 数组非空，且长度不会超过 20 。

• 初始的数组的和不会超过 1000 。

• 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        int sum=0;
        for(int x:nums){
            sum+=x;
        }
        if(S>sum||S<-sum) return 0;
        if(((S+sum)&1)==1) return 0;
        int target=(S+sum)>>1;
        int[] dp=new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=nums.length;i++){
            for(int j=target;j>=nums[i-1];j--){
                dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i-1]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

恰好装满完全背包问题求最小价值

322. 零钱兑换

难度中等724

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明: 你可以认为每种硬币的数量是无限的。

//完全背包问题思路伪代码（空间优化）
dp[0,...,W]=0;
for i=1,...,N
    for j=w[i],...,W//必须正向枚举！！！
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])

分析：如果我们把面值看做物品，面值金额看成是物品的重量，每件物品的价值均为1，这样此题就是一个恰好装满的完全背包问题了。不过这里不是求最多装入多少物品而是求最少，可以将每个物品的价值看成1，求最少价值。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int len=coins.length;
        int[] dp=new int[amount+1];
        Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE);
        dp[0]=0;
        
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                if(dp[j-coins[i]]!=Integer.MAX_VALUE){
                    dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        return dp[amount]==Integer.MAX_VALUE?-1:dp[amount];
    }
}

恰好装满0/1完全背包问题求方案数

518. 零钱兑换 II

难度中等207

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

 

注意**:**

你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000

• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000

• 硬币种类不超过 500 种

• 结果符合 32 位符号整数

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int len=coins.length;
        int[] dp=new int[amount+1];
        
        dp[0]=1;
        
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

恰好01背包问题

416. 分割等和子集

难度中等341

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

1. 每个数组中的元素不会超过 100

2. 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]
​
输出: true
​
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]
​
输出: false
​
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

https://mp.weixin.qq.com/s?src=11&timestamp=1596211005&ver=2494&signature=cLm--axb39CcQxxgdQSwLgGzsZE5pHVZe0QXYdkTIk7XWDLEJgosT-RKJbp19fgD9XvfAokmbuBfjQR6UKWvnGrc77lxwWTKgfJA4JQf3xVHoAHsr-gPh7wD*rDlpOdf&new=1

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            sum+=nums[i];
        }
        if((sum&1)==1) return false;
        sum=sum>>1;
        boolean[] dp=new boolean[sum+1];
        Arrays.fill(dp,false);//装不满
        dp[0]=true; //装满了
        for(int i=1;i<=nums.length;i++){
            for(int j=sum;j>=nums[i-1];j--){
                dp[j]=dp[j]||dp[j-nums[i-1]];
            }
        }
        return dp[sum];
    }
}

面试题 08.11. 硬币

难度中等155

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

 输入: n = 5
 输出：2
 解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

 输入: n = 10
 输出：4
 解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明：

注意:

你可以假设：

• 0 <= n (总金额) <= 1000000

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {
        int[] nums=new int[]{1,5,10,25};
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<4;i++){
            for(int j=nums[i];j<=n;j++){
                dp[j]=(dp[j]+dp[j-nums[i]])% 1000000007;
            }
        }
        return dp[n];
    }
}