【MX-J3-T3+】Tuple+ 题解

一个比较自然的思路就是对于每个三元组 \((u_i,v_i,w_i)\)，把 \((v_i,w_i)\) 这个二元组放在属于 \(u_i\) 的 vector 里面。然后对于每一个 \(i\in [1,n-3]\)，把 \(i\) 的 vector 里面的所有二元组 \((x,y)\) 当作一条连接 \(x,y\) 的无向边，则我们的目的是在图中找出所有的三元环 \((p_1,p_2,p_3)\)，如果这个三元组被给出了，我们就让它与 \(i\) 组成一个合法的四元组 \((i,p_1,p_2,p_3)\)（\(i<p_1<p_2<p_3\)）。

无向图找三元环的话就是一个比较模板的题目了。我们考虑给每条无向边定向，对于 \((x,y)\) 这条边，设 \(d_i\) 表示 \(i\) 的度数，若 \(d_x>d_y\) 或者 \(d_x=d_y\wedge x>y\)，我们就定向为 \(x\to y\)。

然后我们就枚举每一个点 \(x\)，然后枚举 \(x\) 指向的某个点 \(y\)，再枚举 \(y\) 指向的另一个点 \(z\)，若 \((x,z)\) 存在连边，则 \((x,y,z)\) 构成一个三元环。时间复杂度可以分类讨论证明一下：设边数为 \(M\)，若 \(d_x\leq \sqrt{M}\)，则 \(d_z\leq d_y\leq d_x\leq \sqrt{M}\)，那么此次枚举就是 \(O(\sqrt{M})\) 的；若 \(d_x>\sqrt{M}\)，则此次枚举最劣是 \(O(M)\) 的，而度数大于 \(\sqrt{M}\) 的点最多只有 \(\sqrt{M}\) 个，所以综合起来的复杂度就是 \(O(M\sqrt{M})\)。

由此，我们可以在规定的时间内找出所有的三元环，接着判一下每个三元环是否被给出即可。这里最好是先找完所有三元环，然后再一次性的挨个判断，不然判断时的 \(O(\log m)\) 可能会堆积在 \(O(M\sqrt{M})\) 这个时间复杂度上。

对于我们枚举的 \(i\)，设其 vector 中存了 \(M_i\) 条边，则有 \(\sum M_i=m\)，我们的总时间复杂度为 \(O(\sum M_i\sqrt{M_i})\)。

结论：\(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}<(a+b)\sqrt{a+b}\)，其中 \(a,b>0\)。

证明：将两边同时平方可得 \(a^3+b^3+2ab\sqrt{ab}<a^3+b^3+3ab^2+3a^2b\)。去掉相同项就能化简为 \(\sqrt{ab}<1.5(a+b)\)，根据均值不等式 \(a+b\geq 2\sqrt{ab}\) 即可证明 \(\sqrt{ab}<1.5(a+b)\) 成立。

拓展一下这个结论可以知道 \(\sum M_i\sqrt{M_i}< (\sum M_i)\sqrt{\sum M_i}=m\sqrt{m}\)。因此我们的最劣时间复杂度为 \(O(m\sqrt{m})\)。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=3e5+5;
int n,m;
int u[MAXN],v[MAXN],w[MAXN];
vector<pair<int,int> > vec[MAXN];
int stk[MAXN<<1],cnt;
int in[MAXN];
int head[MAXN],nxt[MAXN<<1],to[MAXN<<1],tot;
void add(int x,int y)
{
	to[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
vector<int> v1[MAXN];
int vis[MAXN];
map<pair<pair<int,int>,int>,int> mp;
vector<pair<pair<int,int>,int> > temp;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)	cin>>u[i]>>v[i]>>w[i],vec[u[i]].push_back(make_pair(v[i],w[i]));
	int res=0;
	for(int s=1;s<=n-3;s++)
	{
		if(!vec[s].size())	continue;
		cnt=0,tot=0;
		for(auto j:vec[s])	stk[++cnt]=j.first,stk[++cnt]=j.second,add(j.first,j.second),add(j.second,j.first);
		for(auto j:vec[s])	in[j.first]++,in[j.second]++;
		sort(stk+1,stk+cnt+1),cnt=unique(stk+1,stk+cnt+1)-stk-1;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
		{
			for(int j=head[stk[i]];j;j=nxt[j])
			{
				if(in[stk[i]]>in[to[j]]||in[stk[i]]==in[to[j]]&&stk[i]>to[j])	v1[stk[i]].push_back(to[j]);
			}
		}
		temp.clear();
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
		{
			for(int j:v1[stk[i]])	vis[j]=1;
			for(int j:v1[stk[i]])
			{
				for(int k:v1[j])
				{
					if(vis[k])	temp.push_back(make_pair(make_pair(stk[i],j),k));
				}
			}
			for(int j:v1[stk[i]])	vis[j]=0;
		}
		for(auto j:temp)
		{
			if(j.first.first>j.first.second)	swap(j.first.first,j.first.second);
			if(j.first.second>j.second)	swap(j.first.second,j.second);
			if(j.first.first>j.first.second)	swap(j.first.first,j.first.second);
			mp[j]++;
		}
		for(int i=1;i<=cnt;i++)	head[stk[i]]=0,in[stk[i]]=0,v1[stk[i]].clear();
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)	res+=mp[make_pair(make_pair(u[i],v[i]),w[i])];
	cout<<res;
	return 0;
}