[FJOI2015] 世界树 题解

咱们看到了数据范围之后，不要畏惧，因为这说明正解是一个结论，推出结论再套一个高精咱们就胜利啦！！！

首先可以判断需要贪心，就是说我们要尽可能保证多的点，满足其左右子树的最大深度相差 \(1\)。

从大局观入手，我们现在得到树根 \(r\)，其左右儿子分别为 \(l,r\)，令 \(l\) 子树中的最大深度 \(\leq\) \(r\) 子树中的最大深度，且此时的树是一个最优解。不难想到这是一个分而治之的过程：即满足了 \(|dis_l-dis_r|\leq 1\) 的条件过后，再在左右子树进行分治，重复以上过程。

由此就可以想到，设 \(dp_i\) 表示深度为 \(i\) 时满足题目条件的树的最小点数。考虑转移，首先要满足深度为 \(i\) 那么必定有一个子树为 \(dp_{i-1}\)，而还要保证点数最小且 \(|dis_l-dis_r|\leq1\)，那么另外一个子树就是 \(dp_{i-2}\)，再加上根节点，转移就是：

\[dp_i=dp_{i-1}+dp_{i-2}+1 \]

初始化：\(dp_1=1,dp_2=2\)。

那么我们就可以得到 \(n=dp_i\) 时的答案了，就是 \(\lfloor \dfrac{i+1}{2}\rfloor-1\)。

接着我们就可以尝试拓展到其它 \(n\) 的答案。对于 \(n\in [dp_i,dp_{i+1})\)，我们肯定是考虑保持 \(\lfloor \dfrac{i+1}{2}\rfloor-1\) 这个答案，即先构造出 \(n=dp_i\) 的最优的树，然后在上面添加 \(n-dp_i\) 个节点，尽可能不改变叶子节点的高度极差。不难发现仅有 \(n=6\) 的时候无法保持 \(n=dp_3=4\) 时候的答案，而其余的都满足最终答案为 \(n=dp_i\) 时的答案。

因此我们求出 \(dp_i\) 数组，然后找到 \(i\) 满足 \(n\in[dp_i,dp_{i+1})\)，如果 \(n≠6\)，则输出 \(\lfloor \dfrac{i+1}{2}\rfloor-1\)，否则特判答案为 \(0\)。

由于 \(n\) 太大力，因此我们需要一个高精度的数组。通过打表找到最大的 \(i\) 接近于 \(5\times 10^4\)，然后预处理 \(dp_i\)。然而按照上述写法你会发现 MLE 啦。。

「？？？？」

我们发现这样做，预处理需要的空间太大了，然而最终查询用到的只有 \(50\) 个位置，因此考虑优化一下，将所有询问离线下来排序，然后使用滚动数组，一边递推一边统计答案就行了。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=55;
namespace BigInterger{//找同学要的压位高精度板子 
	struct Int{
		int sign;
		std::vector<int>v;
		inline Int():sign(1){}
		inline Int(const std::string&s){*this=s;}
		inline Int(const int&v){
			char buf[21];
			sprintf(buf,"%d",v);
			*this=buf;
		}
		inline void zip(const int&unzip){
			if(!unzip)
				for(int i=0;i<v.size();++i)
					v[i]=get_pos(i<<2)+ get_pos(i<<2|1)*10+get_pos(i<<2|2)*100+get_pos(i<<2|3)*1000;
			else
				for(int i=(v.resize(v.size()<<2),v.size()-1),a;~i;--i)
					a=((i&3)>=2)?v[i>>2]/100:v[i>>2]%100,v[i]=(i&1)?a/10:a%10;
			setsign(1,1);
		}
		inline int get_pos(const int&pos)const{return pos>=v.size()?0:v[pos];}
		inline Int&setsign(const int&newsign,const int&rev){
			while(v.size()>1&&!v.back())v.pop_back();
			sign=(v.empty()||(v.size()==1&&!v[0]))?1:(rev?newsign*sign:newsign);
			return *this;
		}
		inline std::string to_str()const{
			Int b=*this;
			std::string s;
			for(int i=(b.zip(1),0);i<b.v.size();++i)
				s+=(char)(*(b.v.rbegin()+i)^48);
			return (sign<0?"-":"")+(s.empty()?"0":s);
		}
		inline bool absless(const Int&b)const{
			if(v.size()!=b.v.size())return v.size()<b.v.size();
			for(int i=v.size()-1;~i;--i)
				if(v[i]!=b.v[i])return v[i]<b.v[i];
			return false;
		}
		inline Int operator-()const{
			Int c=*this;
			c.sign=(v.size()>1||v[0])?-c.sign:1;
			return c;
		}
		inline Int&operator=(const std::string&s){
			if(s[0]=='-')
				*this=s.substr(1);
			else{
				for(int i=(v.clear(),0);i<s.size();++i)
					v.push_back(*(s.rbegin()+i)^48);
				zip(0);
			}
			return setsign(s[0]=='-'?-1:1,sign=1);
		}
		inline bool operator<(const Int&b)const{
			return sign!=b.sign?sign<b.sign:(sign==1?absless(b):b.absless(*this));
		}
		inline bool operator==(const Int&b)const{return v==b.v&&sign==b.sign;}
		inline Int&operator+=(const Int&b){
			if(sign!=b.sign)return *this=(*this)-(-b);
			v.resize(std::max(v.size(),b.v.size())+1);
			for(int i=0,carry=0;i<b.v.size()||carry;++i){
				carry+=v[i]+b.get_pos(i);
				v[i]=carry%10000,carry/=10000;
			}
			return setsign(sign,0);
		}
		inline Int operator+(const Int&b)const{
			Int c=*this;
			return c+=b;
		}
		inline Int operator++(){return *this+=1;}
		inline Int operator-(const Int&b)const{
			if(b.v.empty()||b.v.size()==1&&!b.v[0])return *this;
			if(sign!=b.sign)return (*this)+(-b);
			if(absless(b))return -(b-*this);
			Int c;
			for(int i=0,borrow=0;i<v.size();++i){
				borrow+=v[i]-b.get_pos(i);
				c.v.push_back(borrow);
				c.v.back()-=10000*(borrow>>=31);
			}
			return c.setsign(sign,0);
		}
		inline Int operator-=(const Int&b){return *this=*this-b;}
		inline Int operator--(){return *this-=1;}
		inline void add_mul(const Int&b,int mul){
			v.resize(std::max(v.size(),b.v.size())+2);
			for(int i=0,carry=0;i<b.v.size()||carry;++i){
				carry+=v[i]+b.get_pos(i)*mul;
				v[i]=carry%10000,carry/=10000;
			}
		}
		inline Int operator*(const Int&b)const{
			if(b<*this)return b*(*this);
			Int c,d=b;
			for(int i=0;i<v.size();++i,d.v.insert(d.v.begin(),0))
				c.add_mul(d,v[i]);
			return c.setsign(sign*b.sign,0);
		}
		inline Int operator*=(const Int&b){return *this=*this*b;}
		inline Int operator/(const Int&b)const{
			if(b.v.size()==1&&!b.v[0]){
				std::cout<<"Divisor is 0.\nCheck your code now.\n";
				exit(0);
				return 0x7fffffff;
			}
			Int c,d;
			d.v.resize(v.size());
			double db=1.0/(b.v.back()+(b.get_pos((unsigned)b.v.size()-2)/1e4)+(b.get_pos((unsigned)b.v.size()-3)+1)/1e8);
			for(int i=v.size()-1;~i;--i){
				c.v.insert(c.v.begin(),v[i]);
				int m=(c.get_pos(b.v.size())*10000+c.get_pos((int)b.v.size()-1))*db;
				c-=b*m,c.setsign(c.sign,0),d.v[i]+=m;
				while(c>=b)c-=b,++d.v[i];
			}
			return d.setsign(sign*b.sign,0);
		}
		inline Int operator/=(const Int&b){return *this=*this/b;}
		inline Int operator%(const Int&b)const{return *this-*this/b*b;}
		inline Int operator%=(const Int&b){return *this=*this%b;}
		inline bool operator>(const Int&b)const{return b<*this;}
		inline bool operator<=(const Int&b)const{return !(b<*this);}
		inline bool operator>=(const Int&b)const{return !(*this<b);}
		inline bool operator!=(const Int&b)const{return !(*this==b);}
	};
	inline std::istream& operator>>(std::istream& stream,Int&x){
		std::string str;
		stream>>str;
		x=str;
		return stream;
	}
	inline std::ostream& operator<<(std::ostream& stream,const Int&x){
		stream<<x.to_str();
		return stream;
	}
}using BigInterger::Int;
struct node
{
	Int x;
	int id;
	bool operator<(const node &f)const{ return x<f.x; }
}q[MAXN];
int res[MAXN];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	for(int i=1;i<=T;i++)	cin>>q[i].x,q[i].id=i;
	sort(q+1,q+T+1);//大力离线 
	Int A=1,B=2,C;//滚动需要的变量 
	int j=1;
	for(int i=1;i<=T;i++)
	{ 
		while(B<=q[i].x)	C=A,A=B,B=C+B+1,j++;
		if(q[i].x<=2||q[i].x==6)	continue;//特判 
		res[q[i].id]=ceil(j/2.0)-1;//统计 
	}
	for(int i=1;i<=T;i++)	cout<<res[i]<<'\n';
	return 0;
}