C语言中int到float的强制类型转换

最近在看一本名为的书。由于我所看过的计算机理论方面的书较少，加上自己大学期间一直也不用功，所以对于计算机的工作原理以及程序的工作方式我始终只知甚少，印象也十分模糊。

不过，应该说我碰到了一本好书。至少，通过昨晚对浮点数一章的阅读（呃...我的确之前对浮点数从没弄明白过），我终于了解了C语言中为什么32位int型数据强制转换到float型会出现精度不能完全保留的现象：

首先来看看我们可爱的int型变量吧，在一台典型的32位机器上一个有符号的int型的取值范围为-2147483648 ~ 2147483647（-2^31 ~ (2^31-1))（注1）。也就是说，在一个4字节（32位2进制），除去首位用于符号位表示正负外，其余的31位都是数字的有效位。

下面再来看看“万恶的”float型变量：根据IEEE的浮点标准，一个浮点数应该用下述形式来表示: 
V=(-1)^s * M * 2^E （公式1）
在C语言中，32位的float型变量有着这样的规定：首位表示符号位s，接下来的8位（指数域）用于表示2的指数E，剩余的23位（小数域）表示M（取值范围为[1，2）或[0，1））。除了上述规定以外，根据指数域的二进制表示情况不同，被编码的float型数字又可以分成三种情况——
1、规格化值。当指数域的8个二进制数字既非全零又非全1时，float数值就是这种情况。设指数域的八位二进制所表示的十进制数为e, 则公式1中的E就是 E = e - (2^7 - 1) （公式2）；
而且此时，将小数域所表示的二进制假设为(f22)(f21)...(f1)(f0) (注2) ，则该小数域所表示的值即为f = 0.(f22)(f21)...(f1)(f0).于是M = 1 + f
2. 非规格化值。当指数域的8个二进制数字为全0时，float数值就为这种情况。这时指数域所表示的十进制数为0，规定指数值为 E = 1 - (2^7 - 1),也就是E为定值-126；此时小数域的值仍表示f = 0.(f22)(f21)...(f1)(f0),但是M的值却变成M = f。
3. 特殊值。当指数域的8个二进制数字为全1时即为这种情况。当小数域为全零时，该float值根据符号位的不同表示正无穷或者负无穷；当小数域为非全零时，该float值为NaN（Not a Number）。

以上，只是在C语言中对int和float的规约。具体在代码中执行强制类型转化究竟会发生什么？从下面两句很简单的语句开始：
 

 

int a = 3490593;
float b = (float)a;

 

那么在内存中a和b究竟存放的是什么值呢？

将a展开为二进制，其值为0000 0000 0011 0101 0100 0011 0010 0001，其十六进制即为0x00354321。 因为要转化为float型，所以首先要对上述二进制的表示形式改变为 M * 2^E 的形式.由于该数明显大于1，所以按照IEEE的标准，其浮点形势必然为规格化值。因此 ，转化后的形式为 
a = 1.101010100001100100001 * 2^21

根据 规格化值的定义，M = 1 + f. 所以f = 0.101010100001100100001.因为float型变量的小数域一共23位。所以b的最后23位可以得出，其值为10101010000110010000100

下面再演绎指数域的值：因为a的指数表示法中，指数E = 21。根据公式2，e = E + (2^7 -1) = 148.所以可以得出b的指数域的二进制表示为：10010100。在加上原数为正，所以符号位s=0。

所以，可以得出b的二进制表示为0 10010100 10101010000110010000100。转化为十六位进制则是0x4A550C84。换句话说，它存储在内存中的值是与a是完全不同的。但是其间还是有关联性的——a的首位为1的数值位后的二进制表示是与b的小数域完全相同的。

很快，问题就出现了。int型的有效位数是31，而float型小数域的有效位只有23位，也就是说如果上面的a的二进制的有效位超过了24位，那么float型的小数域的精度就不够了。因此必须进行舍入。比如：如果上面的a的二进制为0000 0001 1111 0101 0100 0011 0010 0001。这时b的小数域必须有24位才够，但是，这显然是不现实的，因此必须舍入到23位，舍入的原则是：所得结果的最低有效位为0。因此这个a在转换到float时，其精度就会丢失，因为该float的最后23位变成了11110101010000110010000——这显然是与原值不符的。

实际上，C语言中对于double型在32位机器上的小数域有52位，对于int型的31位有效位是绰绰有余了。这就是为什么大部分C语言教材上鼓励读者在执行强制类型转换时将int型转换成double。同时，这可能也是为什么int型能够直接隐式转换到double型的缘故。