射影几何1

风尘不能蒙蔽玫瑰花园的风采，乌云倒影也不会改变黑的清澈——简媜

1|0射影几何

1|1前置模组

我们首先在原版高中数学中加一些模组：

定义理想实数集 $\overset{―}{R} = R \cup \infty$
切点弦

如上图，TR就是圆的一个切点弦

根据三角形射影定理可以知道 $| O T |^{2} = | O F | \cdot | O P |$

根据圆幂定理可以知道 $| O A | \cdot | O P | = | T P |^{2} = | O P |^{2} - | O T |^{2}$ 等等

行列式

$| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$

$| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | = a | \begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix} | - b | \begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix} | + c | \begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix} |$

叉乘

$\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin < \vec{a}, \vec{b} >$

1|0望向无穷远

无穷远点会，不写了

1|0曲线系

对于给定两直线 $L_{1} = 0, L_{2} = 0$ ,

我们观察一下方程 $λ L_{1} + μ L_{2} = 0$ 表达什么含义

首先当其中一个参数为0的时候，很显然这个方程表示其中一条直线，

当两个参数都不为零的时候，我们发现方程的唯一一对解 $(x_{0}, y_{0})$ 恰好是 $L_{1}, L_{2}$ 的交点

因此我们可以发现，这样的方程好像是把两条直线当成两个“基底”来表示过交点的所有直线，

这样的线性组合方式似乎对应着对两条直线取交集

值得一提的是，为了方便我们经常把一个式子中某一项前面的参数归一，从而减少参数数量，但是这样就要注意只有在无穷大情况才能表示这一项(后面有例子)

对于所谓的斜截式，实际上就是 $k (x - 0) - (y - 0) = 0$ 只有当 $k = \infty$ 才能表示 $y = 0$

对于所谓的点斜式，实际上就是 $k (x - x_{0}) - (y - y_{0}) = 0$ 只有当 $k = \infty$ 才能表示 $y = y_{0}$

对于所谓的两点式，实际上就是 $\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} (x - x_{2}) - (y - y_{2}) = 0$

如果我们把两条直线的方程直接相乘，也就是 $L_{1} L_{2} = 0$ ,就表示一条 二次曲线 原因的话之后再揭晓吧。

不过你应该能感受到这样的操作相当于对两条直线取并集

下面我们看一些这样的混合运算

$C_{2} = λ C_{1} + μ L_{1} L_{2}$ 表示过两条直线和另一曲线 $C_{1}$ 4个交点的二次曲线

$C = λ L_{1} L_{2} + μ L_{3} L_{4}$ 表示过两对直线交于的四点的二次曲线

设 $L_{1}, L_{4}, L_{3}$ 共点， $C = λ L_{1} L_{3} + μ L_{2} L_{4}$ 表示过两对直线交于的三点，且与 $L_{4}$ 相切的二次曲线

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本文作者：SunnyKarna
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