P4318 完全平方数

题目描述

小\(X\)自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小\(X\)的生日，小\(W\)想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小\(X\)讨厌的数。他列出了所有小\(X\)不讨厌的数，然后选取了第\(K\)个数送给了小\(X\)。小\(X\)很开心地收下了。

然而现在小\(W\)却记不起送给小\(X\)的是哪个数了。你能帮他一下吗？

题解

在SP4168 SQFREE - Square-free integers的基础上加上二分即可，判断\(1\)到\(mid\)是否有\(K\)个无平方因子的数，以此改变左右边界即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6;
int T, K, tot, prime[N + 5], mu[N + 5], s1[N + 5], s2[N + 5], vis[N + 5];
inline int read()
{
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
void init(int n)
{
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!vis[i]) {prime[++ tot] = i; mu[i] = -1;}
		for(int j = 1; j <= tot && prime[j] * i <= n; j ++)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
			mu[i * prime[j]] = - mu[i];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) s1[i] = s1[i - 1] + mu[i], s2[i] = s2[i - 1] + mu[i] * mu[i];
}
ll calc(ll n)
{
	if(n <= N) return s2[n];
	ll res = 0, m = sqrt(n);
	for(ll l = 1, r; l <= m; l = r + 1)
	{
		r = min((ll)sqrt(n / (n / (l * l))), m);
		res += (n / (l * l)) * (s1[r] - s1[l - 1]);
	}
	return res;
}
void work()
{
	T = read(); init(1e6);
	while(T -- > 0)
	{
		K = read(); ll l = 0, ans = 0, r = 2ll * K;
		while(l <= r)
		{
			ll mid = (l + r) >> 1;
			if(calc(mid) >= K) ans = mid, r = mid - 1;//
			else l = mid + 1;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
}
int main() {return work(), 0;}