BZOJ_1027_[JSOI2007]_合金_(计算几何+Floyd求最小环)

描述

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1027

共三种金属,\(m\)种材料,给出每种材料中三种金属的占比.

给出\(n\)种合金的三种金属占比.用材料做合金,问最少需要多少种材料.

 

分析

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首先,由于三种金属的占比相加为1,所以确定了前两项,最后一项也就确定了,我们可以用二唯坐标\((x,y)\)表示前两项,这样每种材料和合金就是二维平面上的一个点.

接下来是用材料做合金.

首先来考虑用两种材料做合金,两种材料为\((x1,y1)和(x2,y2)\).那么做成的合金就是\((kx1+(1-k)x2,ky1+(1-k)y2) ,0\leq{k}\leq1\).

记两种材料为两个向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\),那么合金就是$$k\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{b}$$

等于$$k\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{a}+(1-k)(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$$

也就是说合金的点在两个材料的点所连的线段上.

那么对于多个材料,我们把几个材料的点首尾相连,形成一个凸多边形,多边形内部的任意一点可以认为是在(多边形的两条边上的点所连的线段上),我们把那两个点做出来当作材料,就可以做出来多边形内部的点了.而多边形外部的点不在可做成的两点所连的线段上.

如果连成的是凹多边形呢?可以去掉一些材料变成材料种类更少的凸多边形.

所以就要把所有合金放在材料围成的多边形内部(或边上).我们把所有点都在同一侧的线段连一条长度为1的边,然后问题就转化为了求最小环,用Floyd即可.

注意:特殊情况,即所有合金都与一个材料重合,此时答案是1.其他情况全部可以一般化.

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=500+5;
const double eps=1e-10,INF=1<<27;
int n,m;
int d[maxn][maxn];
inline int dcmp(double x){
    if(fabs(x)<eps) return 0;
    return x>0?1:-1;
}
struct pt{
    double x,y;
    pt(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
    pt operator - (const pt &a) const { return pt(x-a.x,y-a.y); }
    double operator * (const pt &a) const { return x*a.y-y*a.x; }
    double operator ^ (const pt &a) const { return x*a.x+y*a.y; }
    bool operator != (const pt &a) const { return (dcmp(a.x-x)||dcmp(a.y-y)); }
}a[maxn],b[maxn];
inline bool spj(){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        bool flag=true;
        for(int j=1;j<=n;j++)if(a[i]!=b[j]){
            flag=false;
            break;
        }
        if(flag) return true;
    }
    return false;
}
inline bool J(pt p1,pt p2){
    for(int i=1;i<=n;i++)if(dcmp((b[i]-p1)^(b[i]-p2))>0) return false;
    return true;
}
inline int C(pt p1,pt p2){
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        double t=(p2-p1)*(b[i]-p1);
        if(dcmp(t)>0) l++;
        else if(dcmp(t)<0) r++;
        if(l&&r) return 0;
    }
    if(!l&&!r&&J(p1,p2)) return 3;
    if(l) return 1;
    if(r) return 2;
    return 0;
}
inline void floyd(){
    for(int k=1;k<=m;k++)for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=m;j++)
        d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
    int ans=INF;
    for(int i=1;i<=m;i++) ans=min(ans,d[i][i]);
    if(ans==INF){ puts("-1"); return; }
    printf("%d\n",ans);
}
inline void solve(){
    if(spj()){ puts("1"); return; }
    for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=i+1;j<=m;j++){
        int flag=C(a[i],a[j]);
        if(flag==1) d[i][j]=1;
        else if(flag==2) d[j][i]=1;
        else if(flag==3) d[i][j]=d[j][i]=1;
    }
    floyd();
}
inline void init(){
    scanf("%d%d",&m,&n); double t;
    for(int i=0;i<maxn;i++)for(int j=0;j<maxn;j++) d[i][j]=INF;
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&t);
}
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
}

 

 

1027: [JSOI2007]合金

Time Limit: 4 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 3382  Solved: 955
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的
原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝
锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能
够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

　　第一行两个整数m和n（m, n ≤ 500），分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三
个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m +
 n + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中
所占的比重。

Output

　　一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

10 10
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0

Sample Output

5

HINT

Source