[ABC342D] Square Pair 题解
【题目描述】
给定一个长度为 \(N\) 的非负整数序列 \(A=\left(A_1,\cdots,A_n\right)\)。求满足以下条件的整数对 \(\left(i,j\right)\) 的数量。
- \(1\le i < j \le n\)
- \(A_iA_j\) 是平方数
其中，如果某个非负整数 \(a\) 可以用某个非负整数 \(d\) 表示为 \(a=d^2\)，那么称 \(a\) 是平方数。
【思路】
首先发现，一个数是平方数，当且仅当这个数的所有质因数的次数都是偶数。
因为 \(a\) 是平方数，考虑 \(a=d^2\)，\(d\) 的分解为 \(d={p_1}^{q_1} {p_2}^{q_2} \cdots {p_n}^{q_n}\)。
则 \(a\) 的分解为 \(a={p_1}^{2q_1} {p_2}^{2q_2} \cdots {p_n}^{2q_n}\)。
所以 \(a\) 的所有质因数的次数都是偶数。
那么，两个数 \(A,B\) 的积是平方数，说明了这么个事：
-
\(A,B\) 两数都是平方数（每个质因子次数都是偶数）：那做完乘法之后还是平方数（质因子次数还是偶数）
-
\(A,B\) 两个数，每个数都有次数是奇数的质因子，这些质因子是相同的，所以在做完乘法之后消去了。
举个例子：
-
两个数都是平方数，乘法之后还是平方数：
\(\begin{array}{c} \ \ \ \ \ \ \ \ A=2^2 \times 3^6 \times 7^4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ B=2^2 \times 3^2 \times 7^2 \\ A\times B=2^4 \times 3^8 \times 7^6 \end{array}\)
-
两个数都有次数是奇数的质因子，在做完乘法之后消去了：
\(\begin{array}{c} \ \ \ \ \ \ \ \ A=2^2 \times 3^3 \times 7^1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ B=2^2 \times 3^3 \times 7^5 \\ A\times B=2^4 \times 3^6 \times 7^6 \end{array}\)
所以我们可以得出一个普遍规律：
对于两个数，他们次数是奇数的质因子相同，那么两个数在做完乘法之后就是一个平方数。
但是这题有个坑，\(A_i\) 可能是 \(0\)，所以要特判一下：
- \(0\times0=0\) 是一个平方数
- \(0\) 乘以任何数都是 \(0\)
于是这道题就4发罚时愉快的做完了。
嗯。
【Code】
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a[200005],Zero,ans;
map<int,int>s;
//筛质数，加速找质因子
int Primes[200005],tot;
bool vis[200005];
void Search_primes(int n){
memset(vis,true,sizeof(vis));
vis[0]=vis[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(vis[i]) Primes[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot and i*Primes[j]<=n;j++){
vis[i*Primes[j]]=0;
if(i%Primes[j]==0) break;
}
}
}
//计算一个数次数为奇数的质因子
int Bu(int x){
if(x==0) return 0;
int res=1,X=x;
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(Primes[i]*Primes[i]>X) break;
if(x%Primes[i]==0){
int sum=0;
while(x%Primes[i]==0) x/=Primes[i],sum++;
if(sum%2==1) res*=Primes[i];
}
}
if(x>1) res*=x;
return res;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
Search_primes(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
s[Bu(a[i])]++;
if(a[i]==0) Zero++;
}
for(auto it:s){
int sum=it.second;
ans+=sum*(sum-1)/2;
}
printf("%lld",ans+Zero*(n-Zero));
return 0;
}
【后记】
祝大家上分。
由于手速不够快没交上题解。。。
