Numpy | 线性代数
NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能。
| 函数 | 描述 |
|---|---|
dot |
两个数组的点积，即元素对应相乘。 |
vdot |
两个向量的点积 |
inner |
两个数组的内积 |
matmul |
两个数组的矩阵积 |
determinant |
数组的行列式 |
solve |
求解线性矩阵方程 |
inv |
计算矩阵的乘法逆矩阵 |
numpy.dot()
对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；
对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；
对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。
numpy.dot(a, b, out=None)
参数说明：
- a : ndarray 数组
- b : ndarray 数组
- out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果
import numpy.matlib import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) print(np.dot(a,b))
输出结果为：
[[37 40]
[85 92]]
计算式为：
[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]
numpy.vdot()
numpy.vdot() 函数是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开。
import numpy as np a = np.array([[1,2],[3,4]]) b = np.array([[11,12],[13,14]]) # vdot 将数组展开计算内积 print (np.vdot(a,b))
输出结果为：
130
计算式为：
1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130
numpy.inner()
numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。
import numpy as np print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0]))) # 等价于 1*0+2*1+3*0
输出结果为：
2
多维数组实例
import numpy as np a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) print('数组 a：') print(a) print('\n') b = np.array([[11, 12], [13, 14]]) print('数组 b：') print(b) print('\n') print('内积：') print(np.inner(a, b))
输出结果为：
数组 a：
[[1 2]
[3 4]]
数组 b：
[[11 12]
[13 14]]
内积：
[[35 41]
[81 95]]
内积计算式为：
1*11+2*12, 1*13+2*14 3*11+4*12, 3*13+4*14
numpy.matmul
numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。
另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。
对于二维数组，它就是矩阵乘法：
import numpy.matlib import numpy as np a = [[1,0],[0,1]] b = [[4,1],[2,2]] print (np.matmul(a,b))
输出结果为：
[[4 1]
[2 2]]
二维和一维运算：
import numpy.matlib import numpy as np a = [[1,0],[0,1]] b = [1,2] print (np.matmul(a,b)) print (np.matmul(b,a))
输出结果为：
[1 2]
[1 2]
维度大于二的数组 ：
import numpy.matlib import numpy as np a = np.arange(8).reshape(2,2,2) b = np.arange(4).reshape(2,2) print (np.matmul(a,b))
输出结果为：
[[[ 2 3]
[ 6 11]]
[[10 19]
[14 27]]]
numpy.linalg.det()
numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。
行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。
换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。
import numpy as np a = np.array([[1,2], [3,4]]) print (np.linalg.det(a))
输出结果为：
-2.0
import numpy as np b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) print (b) print (np.linalg.det(b)) print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))
输出结果为：
[[ 6 1 1]
[ 4 -2 5]
[ 2 8 7]]
-306.0
-306
numpy.linalg.solve()
numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。
考虑以下线性方程：
x + y + z = 6 2y + 5z = -4 2x + 5y - z = 27
可以使用矩阵表示为：
如果矩阵成为A、X和B，方程变为：
AX = B
或
X = A^(-1)B
numpy.linalg.inv()
numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。
逆矩阵（inverse matrix）：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
import numpy as np x = np.array([[1,2],[3,4]]) y = np.linalg.inv(x) print (x) print (y) print (np.dot(x,y))
输出结果为：
[[1 2]
[3 4]]
[[-2. 1. ]
[ 1.5 -0.5]]
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
[8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
现在创建一个矩阵A的逆矩阵:
import numpy as np a = np.array([[1, 1, 1], [0, 2, 5], [2, 5, -1]]) print('数组 a：') print(a) print('\n') ainv = np.linalg.inv(a) print('a 的逆：') print(ainv) print('\n') print('矩阵 b：') b = np.array([[6], [-4], [27]]) print(b) print('\n') print('计算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a, b) print(x) # 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解
输出结果为：
数组 a：
[[ 1 1 1]
[ 0 2 5]
[ 2 5 -1]]
a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
[-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
[ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]
矩阵 b：
[[ 6]
[-4]
[27]]
计算：A^(-1)B：
[[ 5.]
[ 3.]
[-2.]]
结果也可以使用以下函数获取：
x = np.dot(ainv,b)
