2022/2/5
2022/2/5
[P1361 小M的作物]( P1361 小M的作物 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) )
最大流最小割
划分集合关系，求最小割
建模方法：
- 将作物i与源点s连一条流量为a[i]的边，s->i。代表这个作物种在A的收益
- 将作物i与汇点t连一条流量为b[i]的边，i->t。代表这个作物种在B的收益
- 考虑组合，建立虚点 \(c\),源点s连向\(c\)，流量为\(c_{1,i}\)，\(c\)连向组合中的作物，流量为inf，保证这条边不会被割，\(c_{2,i}\)同理。
建出来的图如下
在此图跑一边网络流，求出最小割，割去的边是不需要的，那么总的收益减去最小割，就是答案。
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<long long , long long >
#define se second
#define pb push_back
#define pf push_front
#define si size()
#define db double
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
inline void Prin(ll x){if(x < 0){putchar('-');x = -x;}if(x > 9) Prin(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}
const int qs=4e6+7;
const ll mod=998244353;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
ll a[qs],b[qs],n,m,num,sum,s,t;
ll head[qs],nxt[qs],to[qs],dis[qs],p;
void add(int fx,int tx,ll dx){
to[p]=tx; dis[p]=dx; nxt[p]=head[fx]; head[fx]=p++;
//反向边
to[p]=fx; dis[p]=0; nxt[p]=head[tx]; head[tx]=p++;
}
void build_map(){
memset(head,-1,sizeof(head));
s=0,t=n+1;num=t+1;
for(int i=1;i<=n;++i) add(s,i,a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i) add(i,t,b[i]);
m=read();
ll c1,c2,k,x;
for(int i=1;i<=m;++i){
k=read(),c1=read(),c2=read();
sum=sum+c1+c2;
add(s,num,c1); num++;
add(num,t,c2); num++;
for(int j=1;j<=k;++j){
x=read();
add(num-2,x,inf);
add(x,num-1,inf);
}
}
}
//Dinic
ll level[qs],cur[qs];
//level是各点到终点的深度，cur为当前弧优化的增广起点
bool bfs(){//分层图
memset(level,-1,sizeof(level));
level[s]=0;
memcpy(cur,head,sizeof(head));
cur[s]=head[s];
queue<int> Q;
Q.push(s);
while(Q.si){
int k=Q.front();
Q.pop();
for(int i=head[k];i!=-1;i=nxt[i]){
if(dis[i]>0&&level[to[i]]==-1){
level[to[i]]=level[k]+1;
Q.push(to[i]);
if(to[i]==t) return true;
}
}
}
return false;
}
ll dfs(int u,ll flow){
if(u==t) return flow;
ll ret=flow; //剩余的流量
for(int i=cur[u];i!=-1&&ret>0;i=nxt[i]){
cur[u]=i;// 当前弧优化
//如果还能流下去 并且 更深
if(dis[i]>0&&level[to[i]]==level[u]+1){
ll c=dfs(to[i],min(dis[i],ret));
if(!c) level[to[i]]=-1; //剪枝，出去增广完毕的点
ret-=c; //剩余的水流被用了c
dis[i]-=c; //减权重
dis[i^1]+=c; //反向边加权重
}
}
return flow-ret;//返回用掉的水流
}
//END
int main(){
n=read();
sum=0;
for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),sum+=a[i];
for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=read(),sum+=b[i];
build_map();
ll ans=0;
while(bfs()){
ans+=dfs(s,inf);
}
cout<<sum-ans<<"\n";
return 0;
}
[ 炮兵阵地 ]( 炮兵阵地 (nowcoder.com) )
状压dp
（好像是第3次写这道题了，之前都是半懵半懂的写，不过这次思路清晰多了。
\(f[i][j][k]\)表示第i行状态为j，第i-1行状态为k的最大炮兵数量。
状态转移方程为\(f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][k][k1]+count[i])\)
\(count[i]\)表示状态i的二进制中1的数量
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<long long , long long >
#define se second
#define pb push_back
#define pf push_front
#define si size()
#define db double
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
inline void Prin(ll x){if(x < 0){putchar('-');x = -x;}if(x > 9) Prin(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}
const int qs=107;
const ll mod=998244353;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,sta[qs],cnt,s_1[qs],val[qs];
int f[qs][qs][qs]; //f[i][j][k]表示第i行状态为j，第i-1行状态为k的炮兵数
char c[qs][qs];
int get_sum(int x){
int ret=0;
while(x){
if(x&1) ret++;
x>>=1;
}
return ret;
}
int ans=0;
void pre(){
cnt=0;
for(int i=0;i<(1<<m);++i){
//预处理出所有可行状态
if((i&(i<<1)) || (i&(i<<2)) ) continue;
sta[++cnt]=i;
s_1[cnt]=get_sum(i);
}
for(int i=1;i<=n;++i){
int v=0;
for(int j=m,k=0;j>=1;--j,++k){
if(c[i][j]=='P') continue;
v+=(1<<k);
}
//处理出每行的二进制数，p代表1，h代表0
val[i]=v;
}
//与处理出第1行的状态
for(int i=1;i<=cnt;++i){
for(int j=1;j<=cnt;++j){
if(val[1]&sta[i]) continue;
f[1][i][j]=s_1[i];
ans=max(ans,s_1[i]);
}
}
}
void dp(){
for(int fi=2;fi<=n;++fi){
for(int i=1;i<=cnt;++i){//当前行状态
if(sta[i]&val[fi]) continue;//状态与H冲突
for(int j=1;j<=cnt;++j){//fi-1行状态
if((sta[j]&val[fi-1])||(sta[i]&sta[j]))continue;//同上
for(int k=1;k<=cnt;++k) {//fi-2行状态
if((sta[k]&val[fi-2])||(sta[i]&sta[k])||(sta[j]&sta[k])) continue;
f[fi][i][j]=max(f[fi][i][j],f[fi-1][j][k]+s_1[i]);
ans=max(ans,f[fi][i][j]);
}
}
}
}
cout<<ans<<"\n";
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;++i) cin>>c[i]+1;
pre();
dp();
return 0;
}
[ [SCOI2005]互不侵犯KING ]( [SCOI2005]互不侵犯KING (nowcoder.com) )
状压dp
\(f[i][j][k]表示第i行状态为j，且已经放了k个国王的方案数。\)
状态转移方程为：\(f[i][j][k]+=f[i-1][j1][k-count[j]]\)
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<long long , long long >
#define se second
#define pb push_back
#define pf push_front
#define si size()
#define db double
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
inline void Prin(ll x){if(x < 0){putchar('-');x = -x;}if(x > 9) Prin(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}
const int qs=107;
const ll mod=998244353;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
ll n,m,sta[600],cnt,cnt_1[600];
ll f[11][600][100]; //f[i][j][k]表示第i行状态为j，且已经放了k个国王的方案数。
int get_sum(int x){
ll ret=0;
while(x){
if(x&1) ret++;
x>>=1;
}
return ret;
}
void pre(){
cnt=0;
for(int i=0;i<(1<<n);++i){
if((i&(i<<1))||(i&(i>>1))) continue;
sta[++cnt]=i;
cnt_1[cnt]=get_sum(i);
}
}
void dp(){
ll ans=0;
for(int i=1;i<=cnt;++i){
f[1][i][cnt_1[i]]=1;
}
for(int fi=2;fi<=n;++fi){
for(int i=1;i<=cnt;++i){
for(int j=1;j<=cnt;++j){
if((sta[i]&sta[j])||((sta[i]<<1)&sta[j])||((sta[i]>>1)&sta[j])) continue;
for(int k=cnt_1[i];k<=m;++k){
f[fi][i][k]+=f[fi-1][j][k-cnt_1[i]];
}
}
}
}
for(int i=1;i<=cnt;++i) ans+=f[n][i][m];
cout<<ans<<"\n";
}
int main(){
n=read(),m=read();
pre();
dp();
return 0;
}
