CF2001 题解

A

给定循环数组，每次操作时，设当前大小为 m。
选择 $i\in [0,m)$，若满足 $a_i\le a_{i+1\bmod m}$，则可删除 $a_i,a_{i+1 \bmod m}$ 中的任意一个。
求最小的操作次数，使得数组中所有元素都相等。
$n\le 100$

操作非常强，除了两个相邻位置相等的情况，可以删除任意元素。
然而所有位置都相等正好是我们需要的答案，所以答案既是 n 减去众数的数量，卡到了上界。
代码

B

对于一个排列 p，你要访问它的每个位置。
具体来说，你要一次访问 $1,2\cdots n$。
现在有两种方式，方式一起点在 1 位置，只能往右走，方式 2 起点在 n 位置，只能往左走。
当无法通过移动走到下一个位置时，就要回到起点。
给你 $n$，构造一个排列，使得两种方式回到起点的次数相等，或输出无解。
$n\le 10^5$

有人想 dilworth 想假了我不说是谁。

容易计算出两种方式回到起点的次数，发现是方式一是对所有 $p o s_{x + 1} < p o s_{x}$ 的 x 计数，方式二同理。
容易发现两种方式加起来的次数是 $n - 1$ ，故偶数时无解。
那么奇数时是好构造的，只需两侧对称排列即可，形如 $1, 3, 5 \dots 6, 4, 2$ 即可。
代码

C

交互题。
有一棵树，已知树的大小，你要在不超过 $15n$ 次询问内得到树的结构。
每次可以询问两个点，得到它们的中点，若路径长度为奇数则返回靠近第一个点的那个点。
$n\le 1000$

容易想到分治的做法。
考虑到不断询问一个点到根的路径即可。
对于之前已确定的点打上标记，若询问到打标记的点就跳过，这样就能保证复杂度了。

这个做法在链上时最劣，可以卡到 $O (n \log n)$ 。
代码

D

给定原序列，要求选出一个极长的，元素至多出现一次的子序列。
最小化该子序列所有奇数位置乘上 -1 后的字典序。
$n\le 10^5$

提供两种想法：
每次贪心选择最答案中的第一个位置。
只需考虑不能让当前未选元素无法选择，即选择元素的位置必须不大于所有剩余元素的最后一个位置。
区间最值即可，再加一个能维护删除和全局最值得的结构。

每次考虑当前位置是否能放到答案中。
可以用栈做到线性，只需弹栈并维护每个元素的最后位置，正确性是显然的。
注意考虑可能可以一次弹两个元素。

有很多设计的方法，本质上在于最优子结构的性质太强了。

E Easy Version

有一个大根堆，但是是满二叉树，给定树高 $n$。
一次 pop 操作形如：从根节点开始，每次选择两个儿子中权值较大的那个进行交换（若两个儿子权值相等则这次 pop 操作不确定），直到到达叶子。
一个堆是确定的，当且仅当对其进行一次 pop 操作，该操作确定。
一个堆是可构造的，当且仅当它可以通过如下方式构造出：
所有位置初始都是 0，任选恰好 k 个点进行根链加一。
不难证明通过该过程构造出的堆满足大根堆的性质。
给定 $n,k$ 和质数模数 $p$，对于可构造和确定的堆进行计数。
$n\le 500,k\le 500,10^8\le p\le 10^9$

很复杂的定义，但是注意到构造过程的影响。
容易发现一个点的权值由其子树内的操作次数决定。
于是可以考虑进行子树内操作步数分配的 dp：
定义 $f_{i, j}$ 表示在高为 $i$ 的堆中进行 $j$ 次操作的合法堆个数。
转移考虑枚举左右儿子的操作步数分配：
由于小的那个儿子不用管，所以可以任意分配，方案数形如一个插板，故设 $s z (i) = 2^{i} - 1$ 。
$f_{i, j} = 2 \sum_{k = 1}^{j} f_{i - 1, k} \sum_{p = 0}^{min (k - 1, j - k)} (\binom{s z (i - 1) + p - 1}{s z (i - 1) - 1})$ 。
这样转移是 $O (n k^{3})$ 的，考虑优化。
右面这个组合数看起来很好合并，考虑组合意义有如下式子：
$\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n + i}{n}) = (\binom{n + m + 1}{n + 1})$ 。
（只需考虑枚举分配方案的最后一个位置是什么）。
故直接优化可做到 $O (n k^{2})$ 。
组合数的计算用 lucas，或者用 $(\binom{n}{m}) = \frac{n}{n - m} (\binom{n - 1}{m})$ 递推即可。
代码

E Hard Version

[Luogu](https://www.luogu.com.cn/problem/CF2001E2)
有一个大根堆，但是是满二叉树，给定树高 $n$。
一次 pop 操作形如：从根节点开始，每次选择两个儿子中权值较大的那个进行交换（若两个儿子权值相等则这次 pop 操作不确定），直到到达叶子，最后把叶子设为 -1。
一个堆是确定的，当且仅当对其连续进行两次 pop 操作，该操作确定。
一个堆是可构造的，当且仅当它可以通过如下方式构造出：
所有位置初始都是 0，任选恰好 k 个点进行根链加一。
不难证明通过该过程构造出的堆满足大根堆的性质。
给定 $n,k$ 和质数模数 $p$，对于可构造和确定的堆进行计数。
$n\le 100,k\le 500,10^8\le p\le 10^9$

思路解析

考虑由一合法方案数去递推二合法方案数。

正解

考虑到 Easy Version 的做法，想到去进行子树分配式的递推。
由于这部分的转移跟二阶儿子有关，所以记 $f_{i, j, k}, g_{i, j}, h_{i, j, k}$ 分别表示树高 $i$ 层，子树内分配即根节点权值为 $j$ ，较大的那个儿子为权值为 $k$ 的一次确定堆，任意堆，二次确定堆方案数。