关于差分约束的一切

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本文为笔者在 OI 学习中的复习向学习笔记。
部分内容会比较简略。
如有好的习题会不断补充。

知识简介

差分约束解决这样一类问题：
给定一个 n 元一次不等式组，让你求出一组解/判定是否有解/算出某个数的最值/算出和的最值……
先从最简单的开始：

P5960 【模板】差分约束

那么怎么做呢？
发现对于形如 \(x_i - x_j \le c\) 的一个不等式可变形为 \(x_i \le x_j + c\)。
对于一个这样的不等式组：

\[\begin{cases} x_1 \le x_2 + c_1 \\ x_2 \le x_3 + c_2 \\ x_1 \le x_3 + c_3 \\ \end{cases} \]

可以推出 \(x_1 \le x_3 + \min(c_1 + c_2,c_3)\)。
联想一下，这个式子有什么意义呢？

来看这张图：

不难发现，有 \(x_1 \le x_3 + \operatorname{Dis}(x_1,x_3)\)
那么我们可以把三个变量转换为三个点，对于每个约束两个变量关系的不等式，变为图上的一条边！
考虑最短路中的这个式子： \(dis_v \le dis_u + w\)
那么一个形如 \(x_i - x_j \le c\) 即 \(x_i \le x_j + c\) 的式子，
就可以变成图上一条从 \(j\) 指向 \(i\)，权值为 \(c\) 的边！
同理，一个形如 \(x_i - x_j \ge c\) 的式子, 可以变为一条从 \(i\) 指向 \(j\)，权值为 \(-c\) 的边。
那么图就可以建出来了。
（如果涉及到 \(x_i - x_j < c\) 的式子，可以考虑变为 \(x_i - x_j <= c - 1\) 处理）

值得一提的一个性质：
一个这样的不等式组要不然无解，要不然有无数多组解。
因为只要有一组解 \(\{ x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\}\)，
我们对于每个变量都加上一个相同的值变为 \(\{ x_1+d,x_2+d,x_3+d,\cdots,x_n+d\}\)，
不难发现仍然是满足原不等式组的。
那么现在考虑什么情况下无解。

对于这样一个不等式组：

\[\begin{cases} x_1 - x_2 \le 3\\ x_2 - x_3 \le -5\\ x_3 - x_1 \le 1\\ \end{cases} \]

由第一个和第二个不等式相加可以推出 \(x_1 - x_3 \le -2\)，
然而再和第三个不等式相加一下会变成 \(0 \le -1\)，显然无解。
扩展一下，对于这样一个不等式组：

\[\begin{cases} x_1 - x_2 \le c_1\\ x_2 - x_3 \le c_2\\ \vdots\\ x_{n-1} - x_n \le c_{n-1}\\ x_n - x_1 \le c_n \end{cases} \]

把这 n 个不等式全部相加会变成 \(0 \le \sum c_i\)，当且仅当 \(\sum c_i < 0\)时无解。
那么可以发现，这在图上对应了一个负环。
所以当且仅当建出来的图上存在负环时无解。
判负环用 SPFA，对于不连通的图，添加一个超级源点，
从超级源点向所有点连权值为 \(0\) 的边，然后从超级源点跑最短路即可。
若无负环，跑出来的 dis 数组即为一组解。

那么这道板子题，我们就解决了。
代码见：笔者的板子库。

但是还不够。
当我们固定源点的值后，我们就可以求出所有点与源点的差的最值。
求最小值，则跑最长路，求出一个 \(dis_u \ge x\) 的下界。
（这里最长路可以把图的边权全部取相反数，再跑最短路算出）
求最大值，则跑最短路，求出一个 \(dis_u \le x\) 的上界。

如果要求所有变量和的最值呢？
例如令所有变量都为非负整数，求最小的变量和（见下面的习题）。
求最小值，我们跑最长路。
一个 \(x_i \ge x_j + c\) 的式子，变为图上一条从 \(j\) 连向 \(i\)，权值为 \(c\) 的边（与小于号的形式类似）
建立超级源点，向各点连权值为 \(0\) 的边，并钦定该源点的值为 \(0\) （在代码里体现为dis[0] = 0），相当于让各个点的值都非负。
接下来从超级源点跑最长路，发现 dis 数组正好就是每个点能取的最小值，求和即为答案。

总结一下：
由于通常要跑 SPFA，所以差分约束的数据范围一般不会太大。
先确定要跑什么路，再建图。
重点在于建图的时候不要漏掉题目中的隐藏条件。

习题

YbtOj 1509 Intervals

对于 \(0\) 到 \(5\times 10^4\) 的每个值建一个变量 \(s_i\) 表示前缀和。
则题目中的条件可变为 \(s_b - s_{a-1} \ge c\)。
注意隐藏条件：\(s_i \le s_{i+1}\) 以及 \(s_{i+1} - s_i \le 1\)。
建超级源点跑最长路，答案即为 \(s_{5\times 10^4}\)

细节：
由于有 \(s_{-1}\) 存在，对于所有节点编号加一再建图。

Luogu P3275 【SCOI2011】 糖果

求最小变量和，跑最长路。
根据题意建图，对于 \(x_a < x_b\) 的条件变为 \(x_a \le x_b - 1\)。
见超级源点跑最长路，答案为 \(\sum dis_i\)。

这道题数据范围较大，差分约束会被 Hack 掉
然而笔者特判自环 + SPFA SLF-swap优化冲过去了

USACO 05DEC Layout G

令 \(d_i\) 表示前缀距离。
按照题意建图，隐藏条件 \(d_i - d_{i+1} \le 0\)。
建超级源点跑最短路，有负环则无解。
对于 1 号节点跑最短路，若与 n 号节点联通则 \(dis_n\) 即为答案，否则两点间距离可以任意大。