关于差分约束的一切

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本文为笔者在 OI 学习中的复习向学习笔记。
部分内容会比较简略。
如有好的习题会不断补充。

知识简介

差分约束解决这样一类问题：
给定一个 n 元一次不等式组，让你求出一组解/判定是否有解/算出某个数的最值/算出和的最值……
先从最简单的开始：

P5960 【模板】差分约束

那么怎么做呢？
发现对于形如 $x_i-x_j\le c$ 的一个不等式可变形为 $x_i\le x_j+c$。
对于一个这样的不等式组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1\le x_2+c_1\\ x_2\le x_3+c_2\\ x_1\le x_3+c_3\end{array}$$

可以推出 $x_1\le x_3+min(c_1+c_2,c_3)$。
联想一下，这个式子有什么意义呢？

来看这张图：

不难发现，有 $x_1\le x_3+\mathrm{Dis}(x_1,x_3)$
那么我们可以把三个变量转换为三个点，对于每个约束两个变量关系的不等式，变为图上的一条边！
考虑最短路中的这个式子： $di{s}_v\le di{s}_u+w$
那么一个形如 $x_i-x_j\le c$ 即 $x_i\le x_j+c$ 的式子，
就可以变成图上一条从 $j$ 指向 $i$，权值为 $c$ 的边！
同理，一个形如 $x_i-x_j\ge c$ 的式子, 可以变为一条从 $i$ 指向 $j$，权值为 $-c$ 的边。
那么图就可以建出来了。
（如果涉及到 $x_i-x_j<c$ 的式子，可以考虑变为 $x_i-x_j<=c-1$ 处理）

值得一提的一个性质：
一个这样的不等式组要不然无解，要不然有无数多组解。
因为只要有一组解 $\{x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\}$，
我们对于每个变量都加上一个相同的值变为 $\{x_1+d,x_2+d,x_3+d,\cdots ,x_n+d\}$，
不难发现仍然是满足原不等式组的。
那么现在考虑什么情况下无解。

对于这样一个不等式组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2\le 3\\ x_2-x_3\le -5\\ x_3-x_1\le 1\end{array}$$

由第一个和第二个不等式相加可以推出 $x_1-x_3\le -2$，
然而再和第三个不等式相加一下会变成 $0\le -1$，显然无解。
扩展一下，对于这样一个不等式组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2\le c_1\\ x_2-x_3\le c_2\\ ⋮\\ x_{n-1}-x_n\le c_{n-1}\\ x_n-x_1\le c_n\end{array}$$

把这 n 个不等式全部相加会变成 $0\le \sum c_i$，当且仅当 $\sum c_i<0$时无解。
那么可以发现，这在图上对应了一个负环。
所以当且仅当建出来的图上存在负环时无解。
判负环用 SPFA，对于不连通的图，添加一个超级源点，
从超级源点向所有点连权值为 $0$ 的边，然后从超级源点跑最短路即可。
若无负环，跑出来的 dis 数组即为一组解。

那么这道板子题，我们就解决了。
代码见：笔者的板子库。

但是还不够。
当我们固定源点的值后，我们就可以求出所有点与源点的差的最值。
求最小值，则跑最长路，求出一个 $di{s}_u\ge x$ 的下界。
（这里最长路可以把图的边权全部取相反数，再跑最短路算出）
求最大值，则跑最短路，求出一个 $di{s}_u\le x$ 的上界。

如果要求所有变量和的最值呢？
例如令所有变量都为非负整数，求最小的变量和（见下面的习题）。
求最小值，我们跑最长路。
一个 $x_i\ge x_j+c$ 的式子，变为图上一条从 $j$ 连向 $i$，权值为 $c$ 的边（与小于号的形式类似）
建立超级源点，向各点连权值为 $0$ 的边，并钦定该源点的值为 $0$ （在代码里体现为dis[0] = 0），相当于让各个点的值都非负。
接下来从超级源点跑最长路，发现 dis 数组正好就是每个点能取的最小值，求和即为答案。

总结一下：
由于通常要跑 SPFA，所以差分约束的数据范围一般不会太大。
先确定要跑什么路，再建图。
重点在于建图的时候不要漏掉题目中的隐藏条件。

习题

YbtOj 1509 Intervals

对于 $0$ 到 $5\times {10}^4$ 的每个值建一个变量 $s_i$ 表示前缀和。
则题目中的条件可变为 $s_b-s_{a-1}\ge c$。
注意隐藏条件：$s_i\le s_{i+1}$ 以及 $s_{i+1}-s_i\le 1$。
建超级源点跑最长路，答案即为 $s_{5\times {10}^4}$

细节：
由于有 $s_{-1}$ 存在，对于所有节点编号加一再建图。

Luogu P3275 【SCOI2011】 糖果

求最小变量和，跑最长路。
根据题意建图，对于 $x_a<x_b$ 的条件变为 $x_a\le x_b-1$。
见超级源点跑最长路，答案为 $\sum di{s}_i$。

这道题数据范围较大，差分约束会被 Hack 掉
然而笔者特判自环 + SPFA SLF-swap优化冲过去了

USACO 05DEC Layout G

令 $d_i$ 表示前缀距离。
按照题意建图，隐藏条件 $d_i-d_{i+1}\le 0$。
建超级源点跑最短路，有负环则无解。
对于 1 号节点跑最短路，若与 n 号节点联通则 $di{s}_n$ 即为答案，否则两点间距离可以任意大。