二分图匹配
二分图匹配
二分图
二分图（Bipartite graph）又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 在一个二分图中，所有的顶点都可以分为两个不相交的集合U和V，两个集合大小不一定相等，但每条边都连接两个集合中各一个顶点。换句话说，一个二分图的顶点可以染成两种颜色，使得每条边两头顶点的颜色是不同的，这样的图也称为二色图。图1中的图是二分图。
图1 二分图的例子
二分图的最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
如果一条边e在M中，我们称其为匹配的，否则是自由的。
一个顶点v如果和一条匹配的边关联，则称该点为匹配的，否则是自由的。
匹配M的规模定义为M中所有匹配边的数量，一个图中的最大匹配是具有最大规模的匹配。
完全匹配，也称作完备匹配是这样一个匹配，图中的每个顶点都被匹配。
增广路径
在一个无向图G=（V，E）中给定一个匹配M，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
例如，在图2中，匹配的边用绿色的虚线表示，M={（1，5），（2，8）}是一个匹配，顶点3，4，6，7是自由的，而1，2，5，8是匹配的，边（1，5）和（2，8）是匹配的，（1，6）、（2，5）、（3，5）、（3，7）、（3，8）和（4，7）是自由的。路径3，5，1，6是关于M的一条增广路径。
图2 增广路径3，5，1，6（绿色虚线表示匹配边）
了解了上述有关二分图的概念后，我们如何求二分图的最大匹配呢？不要告诉我先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的，因为这个算法的复杂度是边数的指数级函数。必需要寻求一种更加高效的算法。
假设M是二分图的一个匹配，如何对它进行改进，以便找到一个包含更多边的匹配呢？显然，无论是U和V，如果其中每个顶点都是匹配的，即作为M中一条边的端点，那么该匹配无法再改进，M已经是最大匹配了。因此，如果当前匹配可以改进，U和V都必须包含未匹配顶点（自由顶点），即还有顶点没有和M中的任何边发生联系。例如，对于图3来说，当Ma={（4，8），（5，9）}时，顶点1，2，3，6，7和10是自由的，而顶点4，5，8和9是匹配的。
另一个显而易见的事实是，我们只要增加一条连接两个自由顶点的边，立刻就扩大匹配。例如，图3 a中，把（1，6）加入匹配Ma={（4，8），（5，9）}，就可以得到一个更大的匹配Mb={（1，6），（4，8），（5，9）}（图3b） 。我们现在对顶点2做匹配，以求得一个比Mb更大的匹配。唯一的做法就是把边（2，6）加入新的匹配中。为了做到这一点只能把（，6）移走，但作为补偿，可以把（1，7）包含到新的匹配中。新的匹配MC={（1，7），（2，6），（4，8），（5，9）}显示在图3c中。
一般来说，我们通过构造一条增广路径来扩大当前的匹配，这条路径一头连接U中的自由顶点，另一头连接V中的自由顶点，路径上的边交替出现在E-M和M中。也就是说，路径上的第一条边不属于M，第二条边属于M，依次类推，直到最后一条不属于M的边。由于增广路径的长度总是奇数，把奇数边加入M，偶数边从M中删除，就可以生成一个新的匹配，该匹配比M多一条边。
因此，对于增广路径我们可以得出下述三个结论：
1、P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2、P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3、M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
由此，我们构造出一个构造二分图匹配的通用方法：从某初始匹配（例如空集合）开始，求出一个增广路径，并沿着该路径对当前匹配进行增广，如果无法再找到增广路径，算法终止并返回最后匹配，该匹配就是最大的。
这种用增广路径求二分图最大匹配的算法被称作匈牙利算法，是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出的。
算法轮廓：
1.置M为空
2.找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
3.重复(2)操作直到找不出增广路径为止
样例程序：
【输入】
第1行3个整数,V1,V2的节点数目n1,n2,G的边数m
第2-m+1行，每行两个整数t1,t2,代表V1中编号为t1的点和V2中编号为t2的点之间有边相连
【输出】
1个整数ans,代表最大匹配数
program match_matrix;
const
maxn=100;
var
edge:array[1..maxn,1..maxn] of boolean; {邻接矩阵，记录的是两个点之间是否有边相连}
result:array[1..maxn] of integer; {记录当前连接方式，记录的是与当前点匹配的另一端节点}
visited:array [1..maxn] of boolean; {记录是否遍历过，防止死循环}
m,n1,n2,i,t1,t2,ans:integer;
function dfs(p:integer):boolean;
var
j:integer;
begin
for j:=1 to n do
if edge[p,j] and not(visited[j]) then {有边存在且此j节点没有被搜索过}
begin
visited[j]:=true; {此j节点已被搜索过}
if (result[j]=0)or dfs(result[j]) then {此j点在另一端无匹配点或有匹配点并从匹配点出发有增广路径}
begin
result[j]:=p;exit(true); {标记j点的匹配点p到result中}
end;
end;
exit(false);
end;
begin
readln(n,m); {n个元素，m条边。例：某大学n个学生可以选修m门课}
fillchar(edge,sizeof(edge),false);
for i:=1 to m do
begin
readln(t1,t2);edge[t1,t2]:=true; {读入边，并在邻接矩阵中标记}
end;
fillchar(result,sizeof(result),0);
ans:=0;
for i:=1 to n do {循环n1次，每次确定1个元素被匹配}
begin
fillchar(visited,sizeof(visited),false); {每次调用dfs寻找增广路经前所有顶点都标记为未访问}
if dfs(i) then inc(ans);
end;
writeln(ans);
end.
【递归算法描述】
1、“从点A出发的增广路径”一定首先连向一个在原匹配中没有与点A配对的点B。如果点B在原匹配中没有与任何点配对，则它就是这条增广路径的终点；反之，如果点B已与点C配对，那么这条增广路径就是从A到B，再从B到C，再加上“从点C出发的增广路径”。并且，这条从C出发的增广路径中不能与前半部分的增广路径有重复的点。
2、算法的核心是dfs(p:integer)这个函数，它的作用是：寻找顶点p可能匹配的顶点。对于每个可以与p匹配的顶点j，假如它未被匹配，可以直接使用j与p匹配；假如j已与某顶点x匹配，那么只需调用dfs(x)来求证x是否可以与其它顶点匹配，如果返回true的话，仍可以使j与p匹配，这就是一次dfs。每次dfs时，要标记访问到的顶点（visited[j]=true），以防死循环和重复计算；每次dfs开始前所有的顶点都是未标记的。主过程只需对某一端的每个顶点调用dfs，如果返回一次true，就对最大匹配数加一；一个简单的循环就求出了最大匹配的数目。
