解题报告 幸福的道路
1. 题目
幸福的道路(race)
【问题描述】
小T与小L终于决定走在一起,他们不想浪费在一起的每一分每一秒,所以他们决定每天早上一同晨练来享受在一起的时光.
他们画出了晨练路线的草图,眼尖的小T发现可以用树来描绘这个草图.
他们不愿枯燥的每天从同一个地方开始他们的锻炼,所以他们准备给起点标号后顺序地从每个起点开始(第一天从起点一开始,第二天从起点二开始……). 而且他们给每条道路定上一个幸福的值.很显然他们每次出发都想走幸福值和最长的路线(即从起点到树上的某一点路径中最长的一条).
【输入格式】
第一行包含一个整数N.
第二至第N行,每行两个数字Fi , Di, 第i行表示第i个节点的父亲是Fi,且道路的幸福值是Di.
【输出格式】
每天的锻炼路径长度
【样例输入】
3
1 1
1 3
【样例输出】
3
4
4
数据范围：
50%的数据N<=1000
80%的数据N<=100 000
100%的数据N<=1000 000
2. 算法
第一种方法：用队列优化的树形动规。
还有一种比较纠结的，以前在博客中写过：
首先说明一个定理，离树中某一个点最远的点，一定是在树的直径（树中距离最远的两个点之间的路径）的一个端点。
证明：如果存在一个更远的点，不是端点，但是比较远的那个端点距离这个点更远，则此时，距离这个点较近的那个端点可以经过这个点，到达那个更远的点，这样就会找出一条比直径更长的路径。但事实上，直径应该是一个树中最长的路径，所以离树中某一个点最远的点，一定是在树的直径（树中距离最远的两个点之间的路径）的一个端点，证毕。
然后，这样的话，就可以先求出树的直径的两个端点（从任意一个点开始 BFS ，找到距离他最远的那个点，根据上方定理，这必是一个端点，再从这个已知端点开始 BFS ，找到距离他最远的那个点，显然这就是另一个端点），然后从这两个点开始，走单源最短路。然后求解的时候，只需要找出每一个点距这两个点的距离中的较大的那个，就是答案了。
然后这个题的标准算法是树形动规。
这个方法太麻烦，而且这是个多叉树，存都不好存，本人没有深入研究，在此引用一下。
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1.题目可以使用搜索做，但是由于数据范围极大，极可能会超时 |
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2.这样就可以向其他方面思考：题目中给出的是一棵树，就是树形DP吧 |
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距离一个节点最远的点 在此节点的子树中 或 在它的父节点的其他子树中 |
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这样，每一个节点要存储三个信息： |
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1.在他的子树中离他最远的点到他的距离 |
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2.在他的子树中离他第二远的点到他的距离 |
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3.在他的祖先及其出了他本身的子树中里他最远的点到他的距离 |
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假设F[i][0]是在以i为根的子树的点里离i最远的距离 |
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F[i][2]是不在以i为根的子树的点离i最远的距离 |
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显然答案是max(F[i][0] , F[i][2]) |
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第一种显然一次dfs就搞定了 |
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而第二个不是很好办.. |
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所以我们分析一下..得到了这个方程 |
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F[i][2] = max(F[Parent[i]][2] , F[Parent[i]][0]) + Dist[Parent[i]][i]; |
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不过显然当如果F[Parent[i]][0]的决策是i的时候是错的..所以我们只要再记 |
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录一个“在以i为根的子树里且第一步决策和F[i][0]不同的点离i的最大值”令其为F[i][1] |
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if(F[Parent[i]][0] == F[i][0] + Dist[Parent[i]][i]) |
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F[i][2] = max(F[Parent[i]][2] , F[Parent[i]][1]) + Dist[Parent[i]][i]; |
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Else F[i][2] = max(F[Parent[i]][2] , F[Parent[i]][0]) + Dist[Parent[i]][i]; |
4. 代码
特殊算法 （Leve）
type pointer=^rec;
rec=record
num,len:longint;
next:pointer;
end;
var
i,j,a1,a2,n,x,y,max:longint;
link:array[1..10000] of pointer;
d1,d2:array[1..10000] of longint;
v:array[1..10000] of boolean;
q:array[1..1000000] of longint;
p:pointer;
procedure spfa1(x:longint);
var
i,l,r,temp:longint;
p:pointer;
begin
filldword(d1,sizeof(d1)>>2,maxlongint>>1);
fillchar(v,sizeof(v),false);
d1[x]:=0;
v[x]:=true;
q[1]:=x;
l:=0; r:=1;
while l<r do
begin
inc(l);
temp:=q[l];
p:=link[temp];
v[temp]:=false;
while p<>nil do
begin
if d1[p^.num]>d1[temp]+p^.len then
begin
d1[p^.num]:=d1[temp]+p^.len;
if not v[p^.num] then
begin
v[p^.num]:=true;
inc(r);
q[r]:=p^.num;
end;
end;
p:=p^.next;
end;
end;
end;
procedure spfa2(x:longint);
var
i,l,r,temp:longint;
p:pointer;
begin
filldword(d2,sizeof(d2)>>2,maxlongint>>1);
fillchar(v,sizeof(v),false);
d2[x]:=0;
v[x]:=true;
q[1]:=x;
l:=0; r:=1;
while l<r do
begin
inc(l);
temp:=q[l];
p:=link[temp];
v[temp]:=false;
while p<>nil do
begin
if d2[p^.num]>d2[temp]+p^.len then
begin
d2[p^.num]:=d2[temp]+p^.len;
if not v[p^.num] then
begin
v[p^.num]:=true;
inc(r);
q[r]:=p^.num;
end;
end;
p:=p^.next;
end;
end;
end;
begin
assign(input,'length.in');
assign(output,'length.out');
reset(input);
rewrite(output);
readln(n);
for i:=2 to n do
begin
read(x,y);
new(p);
p^.num:=x;
p^.len:=y;
p^.next:=link[i];
link[i]:=p;
new(p);
p^.num:=i;
p^.len:=y;
p^.next:=link[x];
link[x]:=p;
end;
spfa1(1);
max:=0;
for i:=1 to n do
if d1[i]<maxlongint>>1 then
if d1[i]>max then
begin
max:=d1[i];
a1:=i;
end;
spfa1(a1);
max:=0;
for i:=1 to n do
if d1[i]<maxlongint>>1 then
if d1[i]>max then
begin
max:=d1[i];
a2:=i;
end;
spfa2(a2);
for i:=1 to n do
begin
if d1[i]=maxlongint>>1 then d1[i]:=0;
if d2[i]=maxlongint>>1 then d2[i]:=0;
end;
for i:=1 to n do
if d1[i]>d2[i] then
writeln(d1[i])
else
writeln(d2[i]);
close(input);
close(output);
end.
树形动规 （std）
program length;
type
edge=record
x,w,next:longint;
end;
var
e,e2:array[0..200000]of edge;
k,k2:array[0..10000]of longint;
fa:array[0..10000]of longint;
w:array[0..10000]of longint;
tot,tot2,i,j,n,x,y:longint;
v:array[0..10000]of boolean;
f:array[0..10000,0..2]of longint;
function max(a,b:longint):longint;
begin
if (a>b) then exit(a) else exit(b);
end;
procedure add2(a,b,c:longint);
begin
inc(tot2);
e2[tot2].x:=b;
e2[tot2].w:=c;
e2[tot2].next:=k2[a];
k2[a]:=tot2;
end;
procedure add(a,b,c:longint);
begin
inc(tot);
e[tot].x:=b;
e[tot].w:=c;
e[tot].next:=k[a];
k[a]:=tot;
end;
procedure build(x:longint);
var
t:longint;
begin
v[x]:=true;
t:=k2[x];
while (t<>0) do
begin
if (not v[e2[t].x]) then
begin
fa[e2[t].x]:=x;
w[e2[t].x]:=e2[t].w;
add(x,e2[t].x,e2[t].w);
build(e2[t].x);
end;
t:=e2[t].next;
end;
end;
procedure dp_down(x:longint);
var
t:longint;
begin
t:=k[x];
while (t<>0) do
begin
dp_down(e[t].x);
if (f[e[t].x][1]+e[t].w>f[x][1]) then
begin
f[x][2]:=f[x][1];
f[x][1]:=f[e[t].x][1]+e[t].w;
end
else
if (f[e[t].x][1]+e[t].w>f[x][2]) then
begin
f[x][2]:=f[e[t].x][1]+e[t].w;
end;
t:=e[t].next;
end;
end;
procedure dp_up(x:longint);
var
t:longint;
begin
if (fa[x]<>0) then
begin
if (f[fa[x]][1]=f[x][1]+w[x]) then
f[x][0]:=max(f[fa[x]][2],f[fa[x]][0])+w[x]
else f[x][0]:=max(f[fa[x]][1],f[fa[x]][0])+w[x];
end;
t:=k[x];
while (t<>0) do
begin
dp_up(e[t].x);
t:=e[t].next;
end;
end;
begin
assign(input,'length.in');reset(input);
assign(output,'length.out');rewrite(output);
readln(n);
for i:=2 to n do
begin
readln(x,y);
add2(i,x,y);
add2(x,i,y);
end;
build(1);
dp_down(1);
dp_up(1);
for i:=1 to n do
begin
writeln(max(f[i][0],f[i][1]));
end;
close(input);
close(output);
end.
PS：这是这个题的化简版，原题：
【问题描述】
小T与小L终于决定走在一起,他们不想浪费在一起的每一分每一秒,所以他们决定每天早上一同晨练来享受在一起的时光.
他们画出了晨练路线的草图,眼尖的小T发现可以用树来描绘这个草图.
他们不愿枯燥的每天从同一个地方开始他们的锻炼,所以他们准备给起点标号后顺序地从每个起点开始(第一天从起点一开始,第二天从起点二开始……). 而且他们给每条道路定上一个幸福的值.很显然他们每次出发都想走幸福值和最长的路线(即从起点到树上的某一点路径中最长的一条).
他们不愿再经历之前的大起大落,所以决定连续几天的幸福值波动不能超过M(即一段连续的区间并且区间的最大值最小值之差不超过M).他们想知道要是这样的话他们最多能连续锻炼多少天(hint:不一定从第一天一直开始连续锻炼)?
现在，他们把这个艰巨的任务交给你了!
【输入格式】
第一行包含两个整数N, M(M<=10^9).
第二至第N行,每行两个数字Fi , Di, 第i行表示第i个节点的父亲是Fi,且道路的幸福值是Di.
【输出格式】
最长的连续锻炼天数
【样例输入】
3 2
1 1
1 3
【样例输出】
3
数据范围：
50%的数据N<=1000
80%的数据N<=100000
100%的数据N<=1000 000
然后，求出来每天锻炼路径之后，最长连续锻炼天数怎么快速的求出来。。。。才疏学浅，三个点超时。
这是那个 70 的代码。。。。写得好烂。。。。
代码：（SueMiller）
program ACRush;
var a:array[0..2000010,1..3]of longint;
dist1,dist2,dist3:array[0..1000010]of longint;
t,arr:array[0..1000010]of longint;
q:array[0..10000010]of longint;
vq:array[0..1000010]of boolean;
i,j,k,d1,d2:longint;
n,m,tot,maxx,minn,l,r,ans,tempn,tempx:longint;
procedure quicksort(l,r:longint);
var x,i,j:longint;
begin
i:=l; j:=r; x:=a[(l+r)>>1,1];
repeat
while a[i,1]<x do inc(i);
while x<a[j,1] do dec(j);
if i<=j then
begin
a[0]:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=a[0];
inc(i); dec(j);
end;
until i>j;
if l<j then quicksort(l,j);
if i<r then quicksort(i,r);
end;
procedure spfa1(x:longint);
begin
l:=0;
r:=1;
q[1]:=x;
filldword(dist1,sizeof(dist1)>>2,maxlongint>>1);
dist1[x]:=0;
fillchar(vq,sizeof(vq),false);
vq[x]:=true;
while l<r do
begin
inc(l);
for i:=t[q[l]] to tot do
if a[i,1]<>q[l] then break
else
begin
if dist1[q[l]]+a[i,3]<dist1[a[i,2]] then
begin
dist1[a[i,2]]:=dist1[q[l]]+a[i,3];
if not vq[a[i,2]] then
begin
inc(r);
q[r]:=a[i,2];
vq[a[i,2]]:=true;
end;
end;
end;
vq[q[l]]:=false;
end;
end;
procedure spfa2(x:longint);
begin
l:=0;
r:=1;
q[1]:=x;
filldword(dist2,sizeof(dist2)>>2,maxlongint>>1);
dist2[x]:=0;
fillchar(vq,sizeof(vq),false);
vq[x]:=true;
while l<r do
begin
inc(l);
for i:=t[q[l]] to tot do
if a[i,1]<>q[l] then break
else
begin
if dist2[q[l]]+a[i,3]<dist2[a[i,2]] then
begin
dist2[a[i,2]]:=dist2[q[l]]+a[i,3];
if not vq[a[i,2]] then
begin
inc(r);
q[r]:=a[i,2];
vq[a[i,2]]:=true;
end;
end;
end;
vq[q[l]]:=false;
end;
end;
procedure spfa3(x:longint);
begin
l:=0;
r:=1;
q[1]:=x;
filldword(dist3,sizeof(dist3)>>2,maxlongint>>1);
dist3[x]:=0;
fillchar(vq,sizeof(vq),false);
vq[x]:=true;
while l<r do
begin
inc(l);
for i:=t[q[l]] to tot do
if a[i,1]<>q[l] then break
else
begin
if dist3[q[l]]+a[i,3]<dist3[a[i,2]] then
begin
dist3[a[i,2]]:=dist3[q[l]]+a[i,3];
if not vq[a[i,2]] then
begin
inc(r);
q[r]:=a[i,2];
vq[a[i,2]]:=true;
end;
end;
end;
vq[q[l]]:=false;
end;
end;
function max(x,y:longint):longint;
begin
if x>y then exit(x) else exit(y);
end;
begin
assign(input,'race.in');reset(input);
assign(output,'race.out');rewrite(output);
readln(n,m);
for i:=1 to n-1 do
begin
readln(j,k);
inc(tot);
a[tot,1]:=i+1;
a[tot,2]:=j;
a[tot,3]:=k;
inc(tot);
a[tot,1]:=j;
a[tot,2]:=i+1;
a[tot,3]:=k;
end;
quicksort(1,tot);
t[a[1,1]]:=1;
for i:=2 to tot do
if a[i,1]<>a[i-1,1] then t[a[i,1]]:=i;
spfa1(1);
d1:=0;
k:=0;
for i:=1 to n do
if dist1[i]>k then
begin
k:=dist1[i];
d1:=i;
end;
spfa2(d1);
d2:=0;
k:=0;
for i:=1 to n do
if dist2[i]>k then
begin
k:=dist2[i];
d2:=i;
end;
spfa3(d2);
for i:=1 to n do
arr[i]:=max(dist2[i],dist3[i]);
ans:=1;
for i:=1 to n do
begin
l:=i;
r:=i;
maxx:=arr[i];
minn:=arr[i];
tempn:=arr[i]+1;
tempx:=arr[i]-1;
while maxx-minn<=m do
begin
dec(l);
if l=0 then break;
if arr[l]<minn then
begin
tempn:=minn;
minn:=arr[l];
end
else
if arr[l]<tempn then tempn:=arr[l];
if arr[l]>maxx then
begin
tempx:=maxx;
maxx:=arr[l];
end
else
if arr[l]>tempx then tempx:=arr[l];
end;
if l<>0 then
begin
if arr[l]=maxx then maxx:=tempx;
if arr[l]=minn then minn:=tempn;
end;
inc(l);
while maxx-minn<=m do
begin
inc(r);
if r>n then break;
if arr[r]<minn then
begin
tempn:=minn;
minn:=arr[r];
end
else
if arr[r]<tempn then tempn:=arr[r];
if arr[r]>maxx then
begin
tempx:=maxx;
maxx:=arr[r];
end
else
if arr[r]>tempx then tempx:=arr[r];
end;
if r<>n+1 then
begin
if arr[r]=maxx then maxx:=tempx;
if arr[r]=minn then minn:=tempn;
end;
dec(r);
if r-l+1>ans then ans:=r-l+1;
if ans=n then break;
l:=i;
r:=i;
maxx:=arr[i];
minn:=arr[i];
tempn:=arr[i]+1;
tempx:=arr[i]-1;
while maxx-minn<=m do
begin
inc(r);
if r>n then break;
if arr[r]<minn then
begin
tempn:=minn;
minn:=arr[r];
end
else
if arr[r]<tempn then tempn:=arr[r];
if arr[r]>maxx then
begin
tempx:=maxx;
maxx:=arr[r];
end
else
if arr[r]>tempx then tempx:=arr[r];
end;
if r<>n+1 then
begin
if arr[r]=maxx then maxx:=tempx;
if arr[r]=minn then minn:=tempn;
end;
dec(r);
while maxx-minn<=m do
begin
dec(l);
if l=0 then break;
if arr[l]<minn then
begin
tempn:=minn;
minn:=arr[l];
end
else
if arr[l]<tempn then tempn:=arr[l];
if arr[l]>maxx then
begin
tempx:=maxx;
maxx:=arr[l];
end
else
if arr[l]>tempx then tempx:=arr[l];
end;
if l<>0 then
begin
if arr[l]=maxx then maxx:=tempx;
if arr[l]=minn then minn:=tempn;
end;
inc(l);
if r-l+1>ans then ans:=r-l+1;
if ans=n then break;
end;
writeln(ans);
close(input);close(output);
end.
