《计算几何》学习笔记

本课程资料来自学堂在线邓公的《计算几何》，有一定难度。感觉前两章比较基础，后面的我先留个印象吧。

00 基础概念

A is reductive to B 归约思想

规约思想，对欲求问题B下界，找一个已知下界问题A，使得A规约到B，则B的下界不突破A的下界。

output sensitive problems：输出敏感问题

star-shaped polygon 星形多边形：多边形当中，存在一个顶点可以与其他顶点相连却不与其他边相交

Simple polygon 简单多边形：不存在点重合，点与边相交，边与边相交。

monotone polygon 单调多边形：沿一个方向分成两个单调链

Extreme Point , Extreme Edge

欧拉公式 v-e+f-c=1，顶点减边加面减连通域等于1，（“中”书写记忆，正负相交）

01 Convex Hull 凸包算法：

Incremental Method 算法

Jarvis March 算法

Graham Scan 算法

Andrew’s Monotone Chain 算法（基础啊！！！）

Divide and Conquer 算法

http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/ConvexHull.html#3

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 // I refer to the next website, it's very useful.
 6 // http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/ConvexHull.html#4
 7 
 8 struct Point{int x, y, index;} p[100001], ch[100001];
 9 int n; // number of total points
10 int m; // number of convex hull points
11 
12 // >0 means from OA to OB is anticlockwise
13 int cross(Point o, Point a, Point b){
14     return (a.x - o.x)*(b.y - o.y) - (a.y - o.y)*(b.x - o.x);
15 }
16 
17 // __less__()
18 bool compare(Point a, Point b){
19     return (a.x < b.x) || (a.x == b.x && a.y < b.y);
20 }
21 
22 void Andrew_monotone_chain(){
23     sort(p, p+n, compare);
24     m = 0;
25     // lower boundary
26     for (int i = 0; i < n; ++i){
27         while (m >=2 && cross(ch[m-2], ch[m-1], p[i]) < 0) 
28             // if p[i] is in extreme edge, it is included also. so "<"
29             m--;
30         ch[m++] = p[i];
31     }
32     // upper boundary
33     for (int i = n-2, t = m+1; i >= 0; --i){ 
34         // the last point is included, so iter from p[n-2].
35         // the first point p[0] must be included to check the hull
36         while (m >=t && cross(ch[m-2], ch[m-1], p[i]) < 0)
37             m--;
38         ch[m++] = p[i];
39     }
40     m--; // the last one is the first point, 
41 }

Andrew_monotone_chain()

02 Geometric Intersection 多边形相交

EU问题 Element Unique，用xor，N时间复杂度，若基于比较，需要NlogN；min-gap问题，需要排序再遍历，NlogN；max-gap问题，可以用散列表，分成N个桶，每个桶间隔（max-min)/(n-1)，每个桶左闭右开，求桶间距离，O(N)

线相交检测（四次to-left）

BO算法（线段相交问题 (N+I)logN，交点数量I可能到N平方量级）：事件时间序列 Event Queue（优先级队列：标记左右的线段，以及交点，提供 delMin, insert 接口）+ 扫描线结构 Status Strcuture（BBST：记录活跃的线段，提供 insert， remove， succ， pred 接口）

多边形相交检测 Convex Polygons Intersect Detection : log(n+m)，n和m为两个多边形的边数。先 monotone partitioning 分成四个部分，然后对（A左，B右）和（A右，B左）的两对判断是否相交，可以用二分查找，每次去掉其中一个线段序列的1/4。