《数据结构》学习笔记1
前言：本文内容均整理自学堂在线《数据结构》（上/下）课程的视频、课件（特别棒！免费学习，还有专业回答），仅用于个人概念复习和思路回顾。对学堂在线及相关人员，特别是邓公，表示衷心感谢！
摘要：这里主要包括（1）算法概述（2）排序和查找（3）四种结构（4）图的概念和算法，此外还有BST专题篇，串匹配专题篇，以及其他高级数据结构（课件里还好多美味！）
算法概述
算法：特定计算模型下，旨在解决特定问题的指令序列（输入，输出，正确性，确定性，可行性，有穷性）
Turing Machine（列表）, Random Access Machine（向量）
大O记号（上界），大θ记号（确界），大Ω记号（下界）
幂方级数：比幂次高出一阶（1+2+3+4……）
几何级数：与末项同阶（1+2+4+8……）
收敛级数：O(1), 1+1/4+1/9+1/16……
调和级数：1+1/2+1/3+1/4…… = Θ(logn)
对数级数：log1+log2+log3+log4…… = Θ(nlogn)
封底估计 back-of-the-envelope calculations (BotEC)：
一天≈10^5秒；1生≈1世纪≈3X10^4天；三生三世 ≈ 300 yr = 10^10 秒
普通PC：1GHz，10^9 flops
排序和查找
冒泡排序, swap one by one
冒泡排序的优化：记录最后一次冒泡位置，使得输入敏感。
选择排序，record the max (or min) position, swap once
循环节：每一步迭代，元素所属循环节长度恰好减少一个单位；该元素脱离原属循环节，自成长度为1的循环节；有多少个循环节，就出现几次无需swap的情况，最大值为n，期望值为θ(logn)
堆排序，heap + select_sort
建堆，不断delMax()：交换--下滤；（不稳定）
不需全排序，找出前K个词条 O(klogn)的select_sort
插入排序，put one into sorted sequence,
输入敏感性
逆序对：每次比较次数为逆序对数量+1
归并排序，put one(in a sorted sequence) into sorted sequence.（稳定）
1 void merge_sort(int *s, int p, int n){ 2 // sort from s[p] to s[p+n-1] 3 if (n < 2) return; 4 int mi = n >> 1; 5 int *temp = new int[mi]; 6 for (int i = 0; i < mi; ++i) { 7 temp[i] = s[p+i]; 8 } 9 merge_sort(temp, 0, mi); 10 merge_sort(s, p+mi, n-mi); 11 int i = 0, j = p+mi, t = p; 12 while (i < mi) { // till temp[] is empty. 13 s[t++] = (j == p + n || temp[i] < s[j]) ? temp[i++] : s[j++]; 14 } 15 delete[] temp; 16 }
快速排序
不稳定，就地O(1)空间，LUG版本（从左右向中间扫描）和LGU版本（从左到右扫描）
构造轴点 pivot（k选取问题），linearSelect算法选取中位数，渐进O(n)
希尔排序
步长序列shell sequence（g,h,… ordered 会不断积累>>推论（g,h）的线性组合都是有序的）
例如PS序列：{2^k-1}；pratt’s Sequence，{1,2,3,4,6,8,9,12…}；Sedgewick Sequence：实践最佳的
实现：用by-rank的向量和输入敏感的排序算法（如插入排序）。
桶排序 bucket sort，也称基数排序 radix sort【不是基于比较的排序】，体现分而治之的策略
整数排序 ：数量/值域 符合常对数密度 log(n)/log(n^d) ，问题转化为d个域的桶排序问题。
计数排序：小集合+大数据：统计每个桶数量--累加桶数量--扫描每个数据填补对应秩（稳定性处理）
二分查找， 简洁版（时间复杂度必定为logn)
1 int bin_search(int *s, int tar, int lo, int hi) { 2 3 // search tar in s[lo] to s[hi], return the index: s[index] <= tar < s[index + 1] 4 while (lo < hi) { 5 int mi = (lo + hi) >> 1; 6 (tar < s[mi]) ? hi = mi : lo = mi + 1; 7 } 8 return --lo; 9 }
众数查找
中位数查找
四种结构
向量-静态操作，by rank 》》栈 stack 队列 queue 优先级队列 heap
列表-动态操作, by position
树-层次结构，by key 兼顾vector和list的优点：高效查找、插入、删除，半线性结构
散列，by value 关键码之间只需支持比对判等，不必支持大小比较
栈的典型应用场景：
栈混洗（个数 = Catalan数）
逆波兰表达式（RPN）
path(v) – v – subtree(v) ：节点的深度|path(v)|，树的高度（空树为-1）max(|subtree(v)|)
真二叉树（proper binary tree，所有节点度数为2） huffman编码树
完全二叉树（向量存储）
长子-兄弟表示法（多叉树--二叉树转化）
树的先序遍历，中序遍历，后序遍历，层次遍历（根据根节点访问的位置）
pre-order traversal: root node >> left child >> right child
in-order traversal: left child >> root node >> right child
post-order traversal: left child >> right child >> root node ==RPN
散列表 hash table/桶数组 bucket array
散列函数：确定 determinism，快速 efficiency， 满射 surjection，均匀 uniformity
除余法：hash(key) = key % M 。 M素数；缺陷：不动点，零阶均匀。
MAD: hash(key) = (a*key+b)%M。Multiply-Add-Divide 一阶均匀。多项式法
数字分析 selecting deigits；平方取中 mid-square；折叠法 folding；位异或法 XOR；
（伪）随机数法 hash(key) = rand(key) = [rand(0) * a ^ key] % M ：可移植性差
closed hashing：多槽位法，独立链法 linked-list chaining ，公共溢出区（顺序存储冲突数据）
开放定址 open addressing（任何散列都可以接纳任何词条）：线性试探；双向平方试探（表长取4k+3的素数）
装填因子，小于50%；重散列。
懒惰删除：仅作删除标记；查找：while (ht[r] && (k!=ht[r]->key) || !ht[r] && lazilyRemoved(r))
优先级队列 priority queue：向量实现的完全二叉树，堆
三个接口：delMax(), insert(), merge()
（保持结构性和堆序性）插入--至最后一个节点--上滤；删除--与最后一个节点交换--下滤。
Floyd建堆：自下而上的下滤（合并子树），O(n)
锦标赛树：N叶子，O(N)次两两比较，决出胜者（N空间记录）；更新（上一优胜者的祖先进行logN次比较)；渐进意义上与效率相等，常数意义上更小。
多叉堆d-heap：基于向量实现parent(k) = math.floor((k-1)/d), child(k,i) = kd+i；降低了堆高，使得上滤成本降低，下滤成本增加。图算法（Prim和Dijkstra)中，d=e/n+2时，性能最优。不能借助移位加速秩的换算，特别适用于大规模跨越存储层次时。
左式堆：npl(x) = 1+min{ npl(x.lc), npl(x.rc) } 到外部节点的最近距离。主要用于解决堆合并问题（效率Ologn)，借助二叉树结构和heap方法。
图的概念及算法
vertex 顶点 tail 尾 head 头
edge 边 undirected edge 无向边 directed edge 有向边
adjacency 邻接 self-loop 自环 incidence 关联
degree/valency 度
simple graph 简单图（无重边和自环）
undigraph 无向图 digraph 有向图 mixed graph 混合图 DAG(Directed Acyclic Graph) 有向无环图
欧拉环路（边）；哈密尔顿环路(顶点）
spanning tree 支撑树 weighted network 带权网络 MST(minimum spanning tree) 最小支撑树
adjacency matrix 邻接矩阵（点和点），incidence matrix 关联矩阵（点和边），邻接表
planar graph 平面图 Euler’s formula：v-e+f-c = 1
sparse graph 稀疏图
BFS(Breadth-First Search)
DFS(Depth-First Search) 深度优先搜索 活跃期：dTime, fTime
图的算法（根据讲稿整理，主要思路实现）
拓扑排序：有向无环图DAG的排序
数据结构：
node[] queue（记录排列结果）
int[] vector_fronts（记录入度变化）
邻接矩阵（vector * 单向list，记录关系)
算法：BFS
初始化queue（入度为0的点），出queue，减入度，if 入度为0，进queue。
prim 算法：无向图求最小支撑树 MST
数据结构：
node[] vector_parent（记录顶点到MST的最小跨边对应的顶点）
bool[] vector_flag（记录顶点是否纳入MST中）
邻接矩阵（记录关系）
算法：贪心 + PFS（优先级遍历） O(n2)
每次 (1) 在 vector_parent( not in MST ) 中选择一条极短跨边 shortest crossing edge，(2) vector_flag中标记node加入MST，(3) vector_parent( not in MST )中到node的边更短？更新：不更新。
Dijkstra 算法：连通图求单点源（single-source）到其他顶点的最短路径 (Shortest Path Tree)
要求：边权值非负
数据结构：
node[] vector_parent （记录顶点到SPF的最少代价对应的顶点）
int[] vector_cost （记录顶点到SPF的最少代价）
bool[] vector_flag （记录顶点是否纳入SPF中）
算法：贪心 + PFS
每次 (1) 在vector_parent( not in SPF ) 中选择代价最小的顶点，(2) vector_flag 标记node加入SPF，(3) vector_parent( not in SPF )中转自node的代价更小？更新cost代价和parent父节点标记：不更新
双联通分量
关节点 articulatioin point, cut-vertex ：删掉后原图连通分量增多（一个连通图变成多个子连通图）
双（重）连通图 bi-connectivity ：无关节点的图
极大双连通子图，双连通分量 bi-connected components
数据结构：栈存放已访问的边
算法：DFS， O(n+e)
用dtime和hca(Highest Connected Ancestor)记录DFS遍历次序，tarjan算法
Kruskal 算法：无向图求最小支撑树（功能同prim算法）
将所有边组成优先队列（eloge），每次选最短边（不构成环的），迭代n-1次结束。【用并查集检测环路】
稀疏图时e≈n，效率比prim算法高
Floyd-Warshall 算法：连通图中所有点对的最短距离
算法1：每个顶点用Dijkstra算法，O(n3)
算法2：FW，也是O(n3)，允许负权边，单不能有负权环路。动态规划，代码简单
三重循环：中间节点k， 两边节点i, j
