BZOJ 2820

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2820

首先按照套路

  ans

  =ΣprimeΣ(i=1,n)Σ(j=1,m)[gcd(i,j)=prime]

  =ΣprimeΣ(i=1,[n/prime])Σ(j=1,[m/prime])[gcd(i,j)=1]

  =ΣprimeΣ(i=1,min(n,m)/prime)μ(i)*[n/i]*[m/i]

这样做枚举n以内的质数,其个数为n/ln(n),复杂度是O(T√n*n/ln(n)).

好像会TLE

那么进一步优化式子

  ans

  =ΣprimeΣ(i=1,min(n,m)/prime)μ(i)*[n/i]*[m/i]

  =Σ(T=1,min(n,m))[n/T]*[m/T]*Σ(prime,prime|T)μ(T/prime)

  这里更改了枚举顺序枚举T=i*prime

  设f(T)=Σ(prime,prime|T)μ(T/prime)

  ans

  =Σ(T=1,min(n,m))[n/T]*[m/T]*f[T]

  f[T]可以线性地按照定义预处理出来

  因为质数个数为n/ln(n),每个质数做筛法期望复杂度为log(n)

  总复杂度为O(n*log(n)/ln(n))≈O(n)

  所以,按照套路做,复杂度为O(T√n)

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#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll ans;
const int N=1e7+11;
const int maxn=1e7;
int T;
int pr[N],miu[N],f[N],sum[N];
bool ip[N];
inline void shai_fa(){
    miu[1]=1;
    for(register int i=2;i<=maxn;++i){
        if(!ip[i])
            miu[pr[++pr[0]]=i]=-1;
        for(register int j=1;pr[j]*i<=maxn&&j<=pr[0];++j){
            ip[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0)
                break;
            miu[i*pr[j]]=-miu[i];
        }
    }
    for(register int i=1;i<=pr[0];++i)
        for(register int k=1,j=pr[i];j<=maxn;j+=pr[i],++k)
            f[j]+=miu[k];
    for(register int i=1;i<=maxn;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}
int n,m,pos,a;
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int main(){
    shai_fa();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        a=min(n,m);
        ans=0;
        for(register int i=1;i<=a;i=pos+1){
            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

  

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