求乘法逆元的几种姿势

luogu P3811 【模板】乘法逆元

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。

输入输出格式

输入格式：

 

一行n,p

 

输出格式：

 

n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

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输出样例#1： 复制

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4

说明

1 ≤ n ≤ 3*10⁶, n < p < 20000528 1≤n≤3×10⁶,n<p<20000528

输入保证 pp 为质数。

(1)快速幂+费马小定理(nlogp)[常数较大]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define FOR(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;i++)
using namespace std;
int n,p;
inline LL Fast_Power(int a,int b){
    if(b==0)
        return 1;
    if(b==1)
        return a;
    LL ans=Fast_Power(a,b>>1);
    ans=(ans*ans)%p;
    return b&1?(ans*a)%p:ans; 
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
        FOR(i,1,n)
            printf("%lld\n",Fast_Power(i,p-2));
    return 0;
}

(2)exgcd求线性方程[常数较小]

#include<cstdio>
#include<iostream> 
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define BIG 100011 
#define ll long long
#define FOR(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;++i)
using namespace std;
ll ansx,ansy,n,p;
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b)
        return a,x=1,y=0;
    ll s=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return s;
}
int main(){
    cin>>n>>p;
    FOR(i,1,n){
        exgcd(i,p,ansx,ansy);
        printf("%lld\n",(ansx+p)%p);
    }
    return 0;
} 

(3).线性算法O(n)

递推式 f[i]=p-p/i*f[p%i]%p.

 证明：

pΞk*i+r（mod p）

k*i+rΞ0(mod p)

同乘 i^-1*r^-1

k*r^-1+i^-1Ξ0 (mod p)

i^-1Ξ-k*r^-1(mod p)

f[i]=p-p/i*f[p%i]%p.

#include<cstdio>
#include<iostream> 
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define BIG 100011 
#define ll long long
#define FOR(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;++i)
using namespace std;
ll n,p;
ll f[3000011];
int main(){
	cin>>n>>p;
	f[1]=1;
	puts("1");
	FOR(i,2,n){
		f[i]=(p-p/i)*f[p%i]%p;
		printf("%lld\n",f[i]);
	}
	return 0;
}