取石子(博弈游戏)
问题:一共有N颗石子(或者其他乱七八糟的东西),每次最多取M颗最少取1颗,A,B轮流取,谁最后会获胜?(假设他们每次都取最优解)。
先说结论:
假如A先取,N<M,A获胜;
N>M,若N能被(M + 1)整除时,A失败;
若N不能被(M + 1)整除时,A获胜;
假如B先取,(同上);
再说分析:
还是以A先手为例,N<M时A一次拿完(不可能给B留机会,前提就是每次取最优),不会给B留机会;
N>M时,A要想赢,必须要在自己倒数第二次取完的时候还剩下(M + 1)颗石子(此时A和B还可以再取一次就可以分出胜负游戏就结束了),这样不论B取几颗,A都获胜!但是要怎样才能控制最后一轮的石子数量?
分两种情况分析,
- N不能被(M + 1)整除,A先拿走n颗石子(使得剩下的石子数量是(M + 1)的整数倍),那么下一次B拿走k颗石子时,A就拿走(M + 1)- k颗石子。这样不论B怎么拿A总能控制剩下的石子数量是(M + 1)的整数倍,那么最后一轮一定剩下(M + 1)颗石子;
- N能被(M + 1)整除,A就认输吧。。。(B除非傻才会让A赢)无论A怎么拿,B可以控制石子数量(即当B拿完后总能使剩下的石子数量是(M + 1)的整数倍),在最后一轮之前B拿完后还剩(M + 1)颗,A拿多少颗都是输。
(N = 20, M = 7, A先手)
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分析完了之后,我们就拿长安大学ACM的一道题来练练手吧!
学校会每周来检查一次宿舍,一般情况大多宿舍都是轮流安排值日。但是在1205宿舍,Alex想玩点「新花样」,他对Bob说:咱们来玩一个游戏吧,输了那个人去值日。
游戏规则是这样的:一开始有n个石子,Alex和Bob两个人轮流取石子,每次至少取一个至多取m个。取到最后一个石子的人获胜,也就是最后不能取的那个人输。
假设两个人都非常聪明,每次做出的都是最优选择。最开始Alex先取,问哪个人最终能获胜。
输入第一行为一个整数T,表示一共有T组数据。 接下来有T行,每行有两个整数n(1 ≤ n ≤ 109)和m(1 ≤ m ≤ 109),中间用一个空格隔开。
对于每组数据输出游戏最终获胜者的名字。
Alex Bob
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示例代码:
#include <iostream> using namespace std; int main() { int T = 0; cin >> T; while(T--){ int x, y; cin >> x >> y; if( x >= 0 && x <= 1000000000 && y >= 0 && y <= 1000000000){ if(x > y && x%(y + 1) == 0) cout << "Bob" << endl; else cout << "Alex" << endl; } else{ cout << "The input is not right" << endl; continue; } } return 0; }
2016-04-15 18:17:30