「CF1227F2 Wrong Answer on test 233 (Hard Version)」题解

Description

CF1227F2 Wrong Answer on test 233 (Hard Version)

题目大意就是给定一个序列 \(h\),问有多少序列 \(a\),满足 \(a\) 与 \(h\) 的相似度小于 \(a\) 与 \(h\) 左移后的相似度。
或者你叫汉明距离也行。
称左移后的 \(h\) 为 \(h'\)。
容易想到若 \(a_i=h_i\) 这一位无论取多少都不影响最终结果,假设有 \(tot\) 个这样的位置,这部分的贡献就是 \(m^{tot}\)。
先将 \(n\) 减去 \(tot\)。
否则假设剩下位置中 \(a\) 个位置为与 \(h_i\) 相同,\(b\) 个位置与 \(h'_i\) 相同。
则

\[ans=\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=0}^{a-1}\binom{n}{a}\binom{n-a}{b}(m-2)^{n-a-b} \]

预处理 \(m-2\) 的次方后时间复杂度 \(\Theta(n^2)\),可过简单版。
考虑化简式子。

\[\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=0}^{a-1}\binom{n}{a}\binom{n-a}{b}\\ =\sum_{a=\frac{n}{2}}^{a+b}\binom{n}{a+b}\binom{a+b}{a}\\ =\frac{\binom{n}{a+b}2^{a+b}}{2} \]

枚举 \(a+b\) 即可,若 \(a+b\) 为偶数还要减去一个 \(\binom{a+b}{\frac{a+b}{2}}\)。
就没了。
时间复杂度 \(\Theta(n)\)(我没预处理,带个 \(\log\))
Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std; 
const int MAXM=4e5+5;
const int M=4e5;
const int Mod=998244353;
#define ll long long
int n,m,a[MAXM],tot;
ll fra[MAXM],ofra[MAXM],Ans,doo;
ll ksm(ll a,int b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%Mod;
		a=a*a%Mod;b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll C(int n,int k){
	if(k>n) return 0;
	return (fra[n]*ofra[k]%Mod)*ofra[n-k]%Mod;
}
int main(){
	fra[0]=1;
	for(int i=1;i<=M;i++){
		fra[i]=fra[i-1]*i%Mod;
	}
	ofra[M]=ksm(fra[M],Mod-2);
	for(int i=M;i;i--){
		ofra[i-1]=ofra[i]*i%Mod;
	}
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]==a[i%n+1]) tot++;
	}
	doo=ksm(m,tot);
	n-=tot;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ll tmp=ksm(2,i);
		if(i%2==0){
			tmp=(((tmp-C(i,i/2))%Mod)+Mod)%Mod;
		}
		tmp=tmp*ksm(2,Mod-2)%Mod;
		tmp=tmp*C(n,i)%Mod;
		Ans=(Ans+ksm(m-2,n-i)*tmp)%Mod;
	}
	printf("%lld\n",Ans*doo%Mod);
	return 0;
}