大单元综合测试（一）：第一章，第二章题解
\(6.\) 已知 \(3a>b>0\), 则\(\large\frac{a}{3a-b}-\frac{b}{a+b}\)的最小值为多少？
基本思路方法
\(\qquad\)对于高中基本不等式，这种分母较为复杂的求最值问题，我们一般都会采用将分母换元换元的方法，理由很自然，因为分式是分子除分母，所以分母形式的简单可以方便我们对问题的处理。那么顺着这个思路，我们令 \(3a-b=u, a+b=v.\)
过程
\(\qquad\)接着有一个重要的观念，因为我们的 \(u,v\) 都是用与 \(a,b\) 有关的式子来表示的，那么必然可以用 \(u,v\) 的式子来表示 \(a, b.\)
\(\qquad\)所以我们设\(a=\lambda u+\mu v,由于a+b=v所以b=-\lambda u+(1-\mu)v.\)
（p.s.这里的\(\lambda,\mu\)只是数而已，要是开心你可以设 \(x,y\) 以及其他，只是我的个人习惯设\(\lambda,\mu\)）
\(\qquad\)那么\(4a=u+v,\) 解得\(a=\frac{1}{4}u+\frac{1}{4}v,b=-\frac{1}{4}u+\frac{3}{4}v\)
\(\qquad带入可以得到原式=\Large\frac{u+v}{4u}+\frac{u-3v}{4v}\)
$\qquad\qquad\qquad\qquad=\Large\frac{v}{4u}+\frac{u}{4v}-\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 $
\(\qquad当且仅当\frac{v}{4u}=\frac{u}{4v}时取等。\)
\(13.\) 已知正实数 \(x,y\) 满足 \(x+y+xy-2=0\), 且不等式 \(2t^2-t\le xy-2x\) 有解，则实数 \(t\) 的取值范围是什么
基本思路方法
\(\qquad\)对于这种二元二次的，并且不含有x^2和y^2的式子，我们可以采用消元法，即消去一个未知量，比如说将 \(y\) 用 \(x\) 表示出来。
\(\qquad\)简单处理一下式子就可以得到 \(\large y = \frac{2-x}{x+1},xy=\frac{-x^2+2x}{x+1}\)
\(\qquad\)接下来我们回归关于 \(t\) 的条件，可以发现这是一个存在性的问题，那么要令\(2t^2-t\le xy-2x有解\) 则只需要保证 \(2t^2-t\le (xy-2x)_{max}\)即可，于是我们的任务就来到了求\(xy-2x\)的最大值，求出来之后只需要解一个简单的二次不等式即可。
过程
\(\qquad\)由 \(\large xy=\frac{-x^2+2x}{x+1}\) 可得 \(\large xy-2x=\frac{-3x^2}{x+1}\)
\(\qquad\)这是典型的二次式比一次式的结构，我们可以将分母换元然后用基本不等式解决。
\(\qquad\)令 \(m = x+1\)，那么有 \(\large xy-2x=\frac{-3m^2+6m-3}{m}=-3(m+\frac{1}{m})+6\)
\(\qquad\)那么 \(-3(m+\frac{1}{m})+6\le -6+6=0,当且仅当m=1时取等\)
\(\qquad\)这边有个陷阱，也就是当 \(m = 1\) 时，\(x=0\)，但是题目中的 \(x\) 为正实数！所以这个0是取不了等的，也就是 \(xy - 2x\) 没有最大值，只能无限接近 \(0.\)
\(\qquad\)那么我们需要的\(2t^2-t\le (xy-2x)_{max}\)也就变成了 \(2t^2-t<0,\) 解得\(0<t<\frac{1}{2}\)
\(\qquad\)所以 \(t\) 的取值范围是 \((0,\frac{2}{1})\)
针对选填小技巧
\(\qquad\)因为这道题是填空题，我们观察到题目中所有关于 \(x,y\) 的式子，将 \(x, y\)互换之后一点差别都没有，那么我们说 \(x,y\) 地位等价，对于这种地位等价求最值，我们可以直接令 \(x=y\), 可以简化不少过程（实在没时间或者不会做再这样，大部分题目应该不会出错）。
一道练习题
\(\qquad\)正实数 \(x, y\) 满足 \(x+2y+2xy=3\)， 求 \(x+2y\) 的最值。
\(14.\) 用 \(\min M\)表示 \(M\) 中最小的数，设 \(0<a<b<c<d<1,\)已知\(2a\ge b, 2d\le b+1\),则\(\min\{b-a,c-b,d-c\}\) 的最大值为
基本思路方法
\(\qquad\)我们注意到题目给出的两个不等式都和 \(b\) 有关系，那么我们可以尝试消去 \(b\) 直接得到 \(a,d\)的关系。
\(\qquad\)由题意得 \(a\ge \frac{b}{2},d\le\frac{b}{2}+\frac{1}{2},所以d\le a+\frac{1}{2},即d-a\le \frac{1}{2}\)
\(\qquad\)此时我们观察所求式子，可以发现三个元素相加正好是 \(d-a\)，所以题目可以抽象成这样：
\(\qquad\)有一段长度至多为\(\frac{1}{2}\)的线段，要截成三段，求最短那一段长度的最长值。经过思考我们发现应该当这三段一样长，并且线段总长度为\(\frac{1}{2}时\)，最短的一段才会有最大值。（感性理解应该能想到）。所以答案应该是\(\frac{1}{6}\)
min问题经验总结
\(\qquad\)对于这种最小值取最大的，我们可以武断一点，直接令它们全部相等，那么我们就拥有了一个新视角来看这题。
\(\qquad\)令 \(b-a=c-b=d-c=t\), 那么 \(b = a + t, d = a + 3t\)，所以\(2a\ge a+t,2(a+3t)\le a+t+1,\)解得\(t\le \frac{1}{6}\)
