大单元综合测试（一）：第一章，第二章题解

$6.$ 已知 $3a>b>0$, 则$\frac{a}{3a-b}-\frac{b}{a+b}$的最小值为多少？

基本思路方法

$$对于高中基本不等式，这种分母较为复杂的求最值问题，我们一般都会采用将分母换元换元的方法，理由很自然，因为分式是分子除分母，所以分母形式的简单可以方便我们对问题的处理。那么顺着这个思路，我们令 $3a-b=u,a+b=v.$

过程

$$接着有一个重要的观念，因为我们的 $u,v$ 都是用与 $a,b$ 有关的式子来表示的，那么必然可以用 $u,v$ 的式子来表示 $a,b.$
$$所以我们设$a=\lambda u+\mu v,\mathrm{由}\mathrm{于}a+b=v\mathrm{所}\mathrm{以}b=-\lambda u+(1-\mu )v.$
（p.s.这里的$\lambda ,\mu$只是数而已，要是开心你可以设 $x,y$ 以及其他，只是我的个人习惯设$\lambda ,\mu$）
$$那么$4a=u+v,$ 解得$a=\frac{1}{4}u+\frac{1}{4}v,b=-\frac{1}{4}u+\frac{3}{4}v$
$\mathrm{带}\mathrm{入}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{u+v}{4u}+\frac{u-3v}{4v}$

　 $=\frac{v}{4u}+\frac{u}{4v}-\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$
$\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}\frac{v}{4u}=\frac{u}{4v}\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}。$

$13.$ 已知正实数 $x,y$ 满足 $x+y+xy-2=0$, 且不等式 $2t^2-t\le xy-2x$ 有解，则实数 $t$ 的取值范围是什么

基本思路方法

$$对于这种二元二次的，并且不含有x^2和y^2的式子，我们可以采用消元法，即消去一个未知量，比如说将 $y$ 用 $x$ 表示出来。
$$简单处理一下式子就可以得到 $y=\frac{2-x}{x+1},xy=\frac{-x^2+2x}{x+1}$
$$接下来我们回归关于 $t$ 的条件，可以发现这是一个存在性的问题，那么要令$2t^2-t\le xy-2x\mathrm{有}\mathrm{解}$ 则只需要保证 $2t^2-t\le (xy-2x{)}_{max}$即可，于是我们的任务就来到了求$xy-2x$的最大值，求出来之后只需要解一个简单的二次不等式即可。

过程

$$由 $xy=\frac{-x^2+2x}{x+1}$ 可得 $xy-2x=\frac{-3x^2}{x+1}$
$$这是典型的二次式比一次式的结构，我们可以将分母换元然后用基本不等式解决。
$$令 $m=x+1$，那么有 $xy-2x=\frac{-3m^2+6m-3}{m}=-3(m+\frac{1}{m})+6$
$$那么 $-3(m+\frac{1}{m})+6\le -6+6=0,\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}m=1\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等}$
$$这边有个陷阱，也就是当 $m=1$ 时，$x=0$，但是题目中的 $x$ 为正实数！所以这个0是取不了等的，也就是 $xy-2x$ 没有最大值，只能无限接近 $0.$
$$那么我们需要的$2t^2-t\le (xy-2x{)}_{max}$也就变成了 $2t^2-t<0,$ 解得$0<t<\frac{1}{2}$
$$所以 $t$ 的取值范围是 $(0,\frac{2}{1})$

针对选填小技巧

$$因为这道题是填空题，我们观察到题目中所有关于 $x,y$ 的式子，将 $x,y$互换之后一点差别都没有，那么我们说 $x,y$ 地位等价，对于这种地位等价求最值，我们可以直接令 $x=y$, 可以简化不少过程（实在没时间或者不会做再这样，大部分题目应该不会出错）。

一道练习题

$$正实数 $x,y$ 满足 $x+2y+2xy=3$， 求 $x+2y$ 的最值。

$14.$ 用 $minM$表示 $M$ 中最小的数，设 $0<a<b<c<d<1,$已知$2a\ge b,2d\le b+1$,则$min\{b-a,c-b,d-c\}$ 的最大值为

基本思路方法

$$我们注意到题目给出的两个不等式都和 $b$ 有关系，那么我们可以尝试消去 $b$ 直接得到 $a,d$的关系。
$$由题意得 $a\ge \frac{b}{2},d\le \frac{b}{2}+\frac{1}{2},\mathrm{所}\mathrm{以}d\le a+\frac{1}{2},\mathrm{即}d-a\le \frac{1}{2}$
$$此时我们观察所求式子，可以发现三个元素相加正好是 $d-a$，所以题目可以抽象成这样：
$$有一段长度至多为$\frac{1}{2}$的线段，要截成三段，求最短那一段长度的最长值。经过思考我们发现应该当这三段一样长，并且线段总长度为$\frac{1}{2}\mathrm{时}$，最短的一段才会有最大值。（感性理解应该能想到）。所以答案应该是$\frac{1}{6}$

min问题经验总结

$$对于这种最小值取最大的，我们可以武断一点，直接令它们全部相等，那么我们就拥有了一个新视角来看这题。
$$令 $b-a=c-b=d-c=t$, 那么 $b=a+t,d=a+3t$，所以$2a\ge a+t,2(a+3t)\le a+t+1,$解得$t\le \frac{1}{6}$