P4171 满汉全席

题意简述

$$有几组要求，由二元状态表示 $(ca,cb)$，其中 $a,b$表示的是菜品，$c$表示的是样式，当 $c$ 为 m 时是满式，为h时是汉式。问是否有一种方案，使得每组要求至少可以满足其中一个要求。

解题思路

$$我们将一个点拆为两个，用 $2i$表示满式第 $i$ 种，用 $2i+1$表示汉式第 $i$ 种。
$$由于每个选手可以做出 $n$ 道菜，而总共的菜数只有 $2n$ 中，那么很容易可以推出每种菜要么做满式，要么做汉式。
$$接下来我们对这个题目进行分类讨论：

$1.(m_i,m_j)$ 由于至少满足一种情况，那另一种不满足的时候前一种就应该满足，所以可以得到：$$\mathrm{\neg }{m}_i\Rightarrow m_j$$

$$\mathrm{\neg }{m}_j\Rightarrow m_i$$

因为不做满式就只能做汉式，所以整理得到：$$h_i\Rightarrow m_j,2i+1\to 2j$$$$h_j\Rightarrow m_i,2j+1\to 2i$$
$2.(m_i,h_j)$同理可得$$h_i\Rightarrow h_j,2i+1\to 2j+1$$$$m_j\Rightarrow m_i,2j\to 2i$$
$3.(h_i,m_j)$同理可得$$m_i\Rightarrow m_j,2i\to 2j$$$$h_j\Rightarrow h_i,2j+1\to 2i+1$$
$4.(h_i,h_j)$同理可得$$m_i\Rightarrow h_j,2i\to 2j+1$$$$m_j\Rightarrow h_i,2j\to 2i+1$$

容易发现上述条件关系有一定的奇偶关系，所以可以用 $xor$ 运算来简化：

u = u * 2 + (t1 == 'h');
v = v * 2 + (t2 == 'h');
add(u ^ 1, v), add(v ^ 1, u);

然后跑 Tarjan， 如果一个菜满式和汉式在同一个分量里，就无解

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#define init(x, y) memset(x, y, sizeof x)

using namespace std;

const int N = 2010;
int e[N], ne[N], h[N], idx;
int stmp, dfn[N], low[N];
int ins[N], stk[N], tt;
int n, m, scc_cnt, id[N];

void add(int a, int b) 
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void dfs(int u) 
{
	dfn[u] = low[u] = ++ stmp;
	stk[ ++ tt] = u, ins[u] = 1;

	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) 
	{
		int j = e[i];
		if (!dfn[j]) dfs(j);
		if (ins[j]) low[u] = min(low[u], low[j]);
	}

	if (low[u] == dfn[u]) 
	{
		int y; ++ scc_cnt;
		do {
			y = stk[tt -- ], ins[y] = 0;
			id[y] = scc_cnt;
		} while (y != u);
	}
}

int main() 
{
	int T;
	scanf("%d", &T);

	while (T -- ) 
	{
		init(h, -1), init(dfn, 0);
		tt = scc_cnt = idx = 0;

		scanf("%d%d", &n, &m);

		while (m -- ) 
		{
			char t1, t2;
			int u, v;
			scanf(" %c%d %c%d", &t1, &u, &t2, &v);
			u --, v --;
			u = u * 2 + (t1 == 'h');
			v = v * 2 + (t2 == 'h');
			add(u ^ 1, v), add(v ^ 1, u);
		}

		for (int i = 0; i < 2 * n; i ++ ) 
			if (!dfn[i]) dfs(i);

		int flag = 1;
		for (int i = 0; i < n && flag; i ++ ) 
			if (id[i * 2] == id[i * 2 + 1]) flag = 0;

		puts(flag ? "GOOD" : "BAD");
	}

	return 0;
}