Acw 170.加成序列

题目描述

满足如下条件的序列 $X$（序列中元素被标号为 $1、2、3\dots m$）被称为“加成序列”：

1. $X[1]=1$
2. $X[m]=n$
3. $X[1]<X[2]<\dots <X[m-1]<X[m]$
4. 对于每个 $k$（$2\le k\le m$）都存在两个整数 $i$ 和 $j$ （$1\le i,j\le k-1$，$i$ 和 $j$ 可相等），使得 $X[k]=X[i]+X[j]$。

你的任务是：给定一个整数 $n$，找出符合上述条件的长度 $m$ 最小的“加成序列”。

如果有多个满足要求的答案，只需要找出任意一个可行解。

解题思路

$$ 看到 $n\le 100$，考虑爆搜，但是这个一般的爆搜过不去，原因如下：递归的层数可能很深（因为序列的长度可以很长），但是答案序列的长度会很短，举个例子，在这个序列中：

$$123581321345589144$$

$$长度只有 $11$，但是很容易构造出一个递增的序列，可以达到 $144$ 项。为了避免这样的不必要搜索，我们可以采用迭代加深搜索。

$$$$

$$迭代加深搜索适合搜索规模不定，但是答案在较浅的层数的问题

$$$$

$$具体就是我们先假定一个最大层数，在搜索的时候超过最大层数就不继续，知道搜索成功后，这个最大层数就是我们的答案。

剪枝操作

$1.$优化搜索顺序：因为这是严格递增顺序，所以为了让答案尽快趋近于 $n$，我们应该从后面的项开始，并且 $a[i]$ 必定可以由 $a[i-1]$ 得到，这里可以采用反证法：因为如果 $a[i]$ 的组成中不包含 $a[i-1]$，那我们把 $a[i-1]$ 这一项删去不改变序列的性质，而且答案更优。所以 $a[i]$ 必定可以由 $a[i-1]$ 得到，只要枚举另一个数就可以了。

$2.$排除等效冗余：由于两个数的和可能出现重复，所以我们要排除这种情况，搞个判重数组

$3.$估价函数：由于后一项至多是前一项的两倍，所以当当前数 $a[i]\times 2^{m-i+1}<n$ 的时候，代表无论如何也无法达到目标，所以也是不行的。

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;
int n, path[N];

bool dfs(int u, int dep) 
{
	if (u == dep + 1) return path[dep] == n;
	if (path[u - 1] * (1 << dep - u + 1) < n) return 0;

	int st[N] = {0};
	for (int j = u - 1; j >= 1; j -- ) 
	{
		int sum = path[u - 1] + path[j];
		if (sum <= path[u - 1]) continue ;
		if (st[sum] || sum > n) continue ;

		path[u] = sum, st[sum] = 1;
		if (dfs(u + 1, dep)) return 1;
	} 

	return 0;
}

int main() 
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

	path[1] = 1;
	while (cin >> n, n) 
	{
		int dep = 2;
		while (!dfs(2, dep)) dep ++ ;

		for (int i = 1; i <= dep; i ++ )
			cout << path[i] << ' ';
		cout << '\n';
	}

	return 0;
}

这些全部搞起来我们的代码就可以稳定 $20ms$ 以内了 qwq