AcWing. 1072 树的最长路径

题目描述

给定一棵树，树中包含 $n$ 个结点（编号$1$~$n$）和 $n-1$ 条无向边，每条边都有一个权值。

现在请你找到树中的一条最长路径。

换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远。

注意：路径中可以只包含一个点。

解题思路

$$首先因为是树所以有这样的一个性质：树上两点之间有且仅有一条路径，路径$(x,y)$可以拆分成两条路径 $(x,r)$ 和 $(r,y)$，其中 $r$ 表示 $LCA(x,y)$。

$$所以我们可以得到一个思路：枚举断点 $r$，状态 $dist[r]$ 表示 $r$ 的子树中，与 $r$ 距离最远的点的距离。对于 $r$ 的所有子节点 $x_1,x_2,x_3,......x_k$，有

$$dist[r]=\underset{1\le i\le k}{max}\{dist[x_i]+w(r,x_i)\}$$

$$ 然后再定义 $f[x]$ 为以 $x$ 为断点的最长链，那么树的直径就是

$$\underset{1\le x\le n}{max}\{f[x]\}$$

求$f$的过程如下图所示

对于 $x$ 的任意两个子节点 $y_i$ 和 $y_j$，$f[x]$ 可以分成下面四个部分的和
$1.$ 从 $y_i$ 到 $y_i$ 的子树的最大距离
$2.$ 从 $y_i$ 到 $x$ 的距离
$3.$ 从 $x$ 到 $y_j$ 的距离
$4.$ 从 $y_j$ 到 $y_j$ 子树的最大距离
因此$$f[x]=\underset{1\le j<i\le k}{max}dist[y_i]+dist[y_j]+w(x,y_i)+w(x,y_j)$$

然后就OK了

优化

如果我么顺序枚举，那么在将要枚举到 $i$ 的时候，对于每个已经枚举过的节点 $j<i$ 我们都可以保存到从 $x$ 出发走向以 $y_j$ 为根的子树最大距离，这个距离也就是

$$\underset{1\le j<i}{max}\{dist[y_j]+w(x,y_j)\}$$

所以我们可以一边枚举一边用$dist[x]+dist[y_i]+w(x,y_i)$ 更新 $f[x]$， 一边用$dist[y_i]+w(x,y_i)$ 更新 $dist[x]$。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010, M = N << 1;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx = 1;
bool st[N]; int n, dist[M], res = -0x3f3f3f;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void dp(int x)
{
    st[x] = true;
    for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]) 
    {
        int j = e[i];
        if (st[j]) continue ;
        dp(j);
        res = max(res, dist[x] + dist[j] + w[i]);
        dist[x] = max(dist[x], dist[j] + w[i]);
    }
    res = max(res, dist[x]);
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d", &n);

    while (n -- ) 
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), add(v, u, w);
    }

    dp(1);
    printf("%d\n", res);

    return 0;
}