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一言(ヒトコト)

你无聊吗,快去刷题。
——lmh

AcWing257 关押罪犯

题目大意

给定一张正权无向图,定义冲突值为一个集合内权值最大的边,将一张图上的点,分成两部分,不同部分的点在原图上的边作废,求最小化最大冲突值,并输出。

解题思路

1. 二分答案 + 二分图判定

由于要求最小化最大冲突值,遇到最大值最小化的问题,经验上可以采用二分答案求解,具体步骤就是二分出这个最大冲突值,要使一个冲突值合法,应该有如下性质;

,

所以我们的问题就可以转化成:在原图的基础上将所有权值大于 mid 的点中间连边,建新图,然后判定新图是否为二分图即可,如果是二分图,代表满足 check 条件。

然后我们要求的是最小化,所以应该采用这个二分模板

while (l < r) 
{
    int mid = l + r >> 1;
    if (check(mid)) r = mid;
    else l = mid + 1;
}

采用的是染色法判定二分图,模板如下

bool dfs(int cur, int c, int mid) 
{
    clr[cur] = c;
    for (int i = h[cur]; ~i; i = ne[i]) 
    {
        int j = e[i];
        if (w[i] <= mid) continue ;
        if (clr[j] && clr[j] == c) return false;
        if (!clr[j] && !dfs(j, 3 - c, mid)) return false;
    }
    return true ;
}
完整AC代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
int clr[N], u, v, c, n, m;

void add(int a, int b, int c) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int cur, int c, int mid) 
{
    clr[cur] = c;
    for (int i = h[cur]; ~i; i = ne[i]) 
    {
        int j = e[i];
        if (w[i] <= mid) continue ;
        if (clr[j] && clr[j] == c) return false;
        if (!clr[j] && !dfs(j, 3 - c, mid)) return false;
    }
    return true ;
}

bool check(int mid) 
{
    memset(clr, 0, sizeof clr);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        if (!clr[i]) if (!dfs(i, 1, mid))
            return false;
    return true ;
}

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) 
    {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);
        add(u, v, c), add(v, u, c);
    }

    int l = 0, r = 1e9;
    while (l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    printf("%d\n", r);

    return 0;
}

扩展域并查集

还是二分答案,但是我们可以换一种思路来看,对于一条权值大于 mid 的边上的两个点u,v 我们是期望在不同的部分(监狱)的,那么这种关系显然是具有传递性的,也就是(我们称呼这样的u,v为敌人)敌人的敌人是朋友,所以我们可以想到有并查集来维护,遇到上述边u,v,如果u,v在同一集合内,逻辑冲突,check不成立,否则将u的敌人和v合并,v的敌人和u合并。

为了方便扫描我们用一个结构体数组存储图,和最小生成树一样。

完整AC代码
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n, m, p[N << 1];

struct Edge 
{
    int u, v, w;
} edge[1000010];

int find(int x) 
{
    if (x == p[x]) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

bool check(int mid) 
{
    for (int i = 1; i <= N << 1; i ++ ) p[i] = i;
    
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) 
    {
        if (edge[i].w > mid) 
        {
            int pa = find(edge[i].u), pb = find(edge[i].v);
            if (pa == pb) return false;
            p[pa] = find(edge[i].v + n);
            p[pb] = find(edge[i].u + n);
        }
    }
    return true ;
}

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) 
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        edge[i] = {u, v, w};
    }
    
    int l = 0, r = 1e9;
    while (l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    printf("%d\n", r);
    
    return 0;
}

带边权并查集

维护一下边权,把所有符合性质的点加到同一个集合里面,维护一个边权,边权和模2得到0代表在同一个集合里面,check不成立,由于xor是不进位的二进制加法,所以用异或运算代替加法和模。
判断的时候对于同一个集合里面的元素,如果边权和%2=0那么证明两个这样的罪犯在一个监狱,不可以,返回false,如果一路下来没错误,返回true

完整AC代码
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n, m, p[N], d[N];

struct Edge 
{
    int u, v, w;
} edge[1000100];

int find(int x) 
{
    if (x == p[x]) return x;
    int root = find(p[x]);
    d[x] ^= d[p[x]], p[x] = root;
    return p[x];
}

bool check(int mid) 
{
    memset(d, 0, sizeof d);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
    
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) 
    {
        if (edge[i].w > mid) 
        {
            int x = edge[i].u, y = edge[i].v;
            int px = find(x), py = find(y);
            if (px == py) 
                if (d[x] ^ d[y] == 0) return false;
            if (px != py) 
                d[px] = d[x] ^ d[y] ^ 1, p[px] = py;
        }
    }
    return true ;
}

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) 
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        edge[i] = {u, v, w};
    }
    
    int l = 0, r = 1e9;
    while (l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    printf("%d\n", r);
    
    return 0;
}

算法对比

时间:带边权<扩展域<二分图
143ms<464ms<620ms
代码复杂度:扩展域<带边权<二分图

思维复杂度:扩展域<二分图<带边权

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