AcWing362. 区间

题目描述

给定 $n$ 个区间 $[a_i,b_i]$ 和 $n$ 个整数 $c_i$。

你需要构造一个整数集合 $Z$，使得 $\mathrm{\forall }i\in [1,n]$，$Z$ 中满足 $a_i\le x\le b_i$ 的整数 $x$ 不少于 $c_i$ 个。

求这样的整数集合 $Z$ 最少包含多少个数。

解题思路

$$ 根据前缀和思想，我们用$s[k]$表示最好选法中，整数集合$Z$包含了$0\sim k$中的$s[k]$个数，那在整数集合中$a_i\le x\le b_i$的数也就是$s[b_i]-s[a_i-1]\ge c_i$，那我们就可以看出一个差分约束系统，将$a_i-1$向$b_i$连一条权重为$1$的有向边。

$$但是如果要求解，那这一个差分约束的条件不够，应该再找几个：

$a.$由于$0\sim k$中间选的数不会$0\sim k-1$的少，所以$s[k]-s[k-1]\ge 0$

$b.$由于一个数至多只能选一次，所以$s[k]-s[k-1]\le 1$，转化成$s[k-1]-s[k]\ge -1$

整理上式我们可以得到一个差分约束系统

$$\{\begin{array}{c}s[b_i]-s[a_i-1]\ge c_i\\ s[k]-s[k-1]\ge 0\\ s[k-1]-s[k]\ge -1\end{array}$$

然后就是求一个$-1$到$50001$的最长路，为了方便可以把所有下标$+1$

代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 5e4 + 10, M = 3 * N;
int dist[M], st[M], q[M], hh = 0, tt = 1;
int h[M], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, a, b, c;

int spfa() 
{
    memset(dist, 0xcf, sizeof dist);
    
    q[0] = dist[0] = 0, st[0] = true;
    
    while (hh != tt) 
    {
        int t = q[hh ++ ];
        st[t] = 0;
        if (hh == N) hh = 0;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) 
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i]) 
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) 
                {
                    q[tt ++ ] = j, st[j] = 1;
                    if (tt == N) tt = 0;
                }
            }
        }
    }
    
    return dist[50001];
}

void add(int a, int b, int c) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

int main() 
{
    scanf("%d", &n);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= 50001; i ++ ) 
        add(i - 1, i, 0), add(i, i - 1, -1);
        
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b + 1, c);
    }
    
    printf("%d\n", spfa());
    
    return 0;
}