AcWing246. 区间最大公约数

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A$，以及 $M$ 条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1. C l r d，表示把 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$ 都加上 $d$。
2. Q l r，表示询问 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$ 的最大公约数($GCD$)。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

解题思路

$$区间问题可以用线段树，但是这个既要区间求$GCD$又要区间加，怎么办。

$$ 这时候老祖宗的智慧就来了

更向减损术的扩展版本

$gcd(x_0,x_1,x_2,x_3....x_n)=gcd(x_0,x_1-x_0,x_2-x_1.....x_n-x_{n-1})$
看出了什么，$\mathrm{差}\mathrm{分}\mathrm{啊}\mathrm{啊}\mathrm{啊}\mathrm{啊}\mathrm{啊}$

$$刚好差分可以很好地维护前缀和，支持区间修改，所以我们就可以用一颗差分树状数组（区间修改，单点查询）来支持我们的$1$操作，然后用一颗支持单点修改，区间查询的线段树来维护区间的$GCD$，这样就可以实现我们的区间$GCD$查询了。

很重要的注意事项：

$$我们查询的时候需要查询区间$[l,r]$的区间$GCD$，应该用$a[l]$和$[l+1,r]$的区间$GCD$再取一个$GCD$，为什么？

$$原因如下：

$$$$毕竟我们的$GCD$查询是用差分实现的，那么对于每一段区间$[l,r]$的$GCD$，可以用更向减损术这样表示：

$gcd(a_l,a_{l+1},a_{l+2}...a_{r-1},a_r)=gcd(a_l,a_{l+1}-a_l,....a_r-a_{r-1})$

观察上式可以发现，我们后半段的值都是差分值，是可以直接用线段树查询的，但是我们的第一个值都是$a_l$，它在线段树中的值是一个差分值$a_l-a_{l-1}$，所以这回导致我们的查询操作出问题，所以应该揪出来特殊处理。

然后这题我们可以用树状数组动态维护每个数的值，代码如下

void add(int x, LL v) 
{
    for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;
}

LL ask(int x) 
{
    LL res = 0;
    for (; x; x -= x & -x) res += c[x];
    return res; 
}

在main()函数中：

scanf("%d", &a[i]), add(i, a[i] - a[i - 1]);

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
using LL = long long;

const int N = 5e5 + 10;
LL a[N], c[N], b[N]; 
int n, m;

struct Seg 
{
    int l, r;
    LL v;
    #define l(x) tr[x].l
    #define r(x) tr[x].r
    #define v(x) tr[x].v
} tr[N << 2];
    
void add(int x, LL v) 
{
    for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;
}

LL ask(int x) 
{
    LL res = 0;
    for (; x; x -= x & -x) res += c[x];
    return res; 
}

LL gcd(LL a, LL b) 
{
    return abs(__gcd(a, b));
}

void build(int p, int l, int r) 
{
    l(p) = l, r(p) = r;
    if (l == r) return void (v(p) = b[l]);
    int mid = l + r >> 1;
    build(p << 1, l, mid), build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
    v(p) = gcd(v(p << 1), v(p << 1 | 1));
}

void modify(int p, int x, LL v) 
{
    if (l(p) == x && r(p) == x) return void (v(p) += v);
    
    int mid = l(p) + r(p) >> 1;
    if (x <= mid) modify(p << 1, x, v);
    else modify(p << 1 | 1, x, v);
    
    v(p) = gcd(v(p << 1), v(p << 1 | 1));
}

LL query(int p, int l, int r) 
{
    if (l(p) >= l && r(p) <= r) return v(p);
    
    int mid = l(p) + r(p) >> 1;
    LL v = 0;
    if (l <= mid) v = gcd(v, query(p << 1, l, r));
    if (r > mid) v = gcd(v, query(p << 1 | 1, l, r));
    
    return v;
}

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        scanf("%lld", &a[i]), b[i] = a[i] - a[i - 1], add(i, b[i]);
    
    build(1, 1, n);
    
    while (m -- ) 
    {
        char op[2]; int l, r;
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        
        if (op[0] == 'C') 
        {
            LL d; scanf("%lld", &d);
            modify(1, l, d);
            if (r < n) modify(1, r + 1, -d);
            add(l, d), add(r + 1, -d);
        }
        else {
            LL res = l < r ? query(1, l, r) : 0;
            printf("%lld\n", res);
        }
    }
    
    return 0;
}