AcWing1169. 糖果

题目描述

幼儿园里有 $N$ 个小朋友，老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。

但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候， 老师需要满足小朋友们的 $K$ 个要求。

幼儿园的糖果总是有限的，老师想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

输入格式

输入的第一行是两个整数 $N,K$。

接下来 $K$ 行，表示分配糖果时需要满足的关系，每行 $3$ 个数字 $X,A,B$。

• 如果 $X=1$．表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须和第 $B$ 个小朋友分到的糖果一样多。
• 如果 $X=2$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须少于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
• 如果 $X=3$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须不少于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
• 如果 $X=4$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须多于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。
• 如果 $X=5$，表示第 $A$ 个小朋友分到的糖果必须不多于第 $B$ 个小朋友分到的糖果。

小朋友编号从 $1$ 到 $N$。

输出格式

输出一行，表示老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出 $-1$。

数据范围

$1\le N<{10}^5$,
$1\le K\le {10}^5$,
$1\le X\le 5$,
$1\le A,B\le N$,
输入数据完全随机。

解题思路

$$这道题目有很多不等式，想要求出不等式每个元对应的最小解，最后的和才会是最小的，我们应该采用最长路。所以这题的解题步骤如下：

$$$1.$首先将不等式进行转换，对于不等式$x_i\le x_j+c_k$，可以转化成$(j,i,c)$这样的边。
$2.$然后找到一个超级源点，使得它一定可以到达图中的所有边
$3.$然后跑一遍超级源点的$SPFA$最长路，跑的结果有两种：

$a.$图中存在正环，代表无解，输出$-1$

$b.$图中不存在正环，统计最长路之和，输出。

为什么可以这样求？
因为在一张图中，我们要求$x_i$的最大值，有这样的一个不等式组：

$$\{\begin{array}{c}{x}_i\le x_j+c_0\\ x_j\le x_k+c_1\\ ....\\ x_0\le c_m+0\end{array}$$

我们每一条从源点到$x_i$的路径都可以拉出这样一条不等式链：
$x_i\le x_j+c_0\le x_k+c_1+c_0....\le x_0+c_0+c_1+c_2+c_3...+c_m$

此时放到我们的差分约束系统建立条件中，等价于我们建立了一条$0->i$的边，权值是$c_0+c_1+c_2+c_3...+c_m$。

当我们的不等式有多个解

$$\{\begin{array}{c}{x}_i\le a_0\\ x_i\le a_1\\ x_i\le a_2\\ ....\\ x_i\le a_m\end{array}$$

的时候，我们的$x_i$肯定是满足$x_i\le aMAX$的，这个从不等式的解集在数轴上的表现就可以看出来，所以我们就是跑一条从$0$到$i$的最长路，就可以求出最小值了。

代码

#include <iostream>
#include <stack>
#include <cstring>

using namespace std;
using LL = long long;

const int N = 1e5 + 10, M = 3 * N + 10;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
LL dist[N];
int st[N], n, m, ring, cnt[N];

void add(int a, int b, int c) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

LL spfa() 
{
    memset(dist, 0xcf, sizeof dist);
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    
    stack <int> q;
    q.push(0), dist[0] = 0, st[0] = 1;
    
    while (!q.empty()) 
    {
        auto t = q.top(); q.pop();
        st[t] = 0;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) 
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i]) 
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n + 1) return ring = 1;
                if (!st[j]) st[j] = 1, q.push(j);
            }
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += dist[i];
    return res;
}

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )  
    {
        int op, u, v;
        scanf("%d%d%d", &op, &u, &v);
        if (op == 1) add(v, u, 0), add(u, v, 0);
        if (op == 2) add(u, v, 1);
        if (op == 3) add(v, u, 0);
        if (op == 4) add(v, u, 1);
        if (op == 5) add(u, v, 0);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(0, i, 1);
    
    ring = 0;
    LL t = spfa();
    
    if (ring) puts("-1");
    else printf("%lld\n", t);
    
    return 0;
}