AcWing340通信道路/ USACO2008 Telephone Line S

AcWing题目
洛谷题目

解题思路

首先可以得到一个很容易得到的贪心策略，将一条路径上最贵的（边权最大）的$K$条边删去，那么我们剩下的路径中最贵（边权最大）的路就是原本这条路径上帝$K+1$大的路。
于是原问题就可以转化为：
求一张无向图中最大的一条路径中的第$K+1$大的边
这就启发我们枚举所有的路径。
可行吗？
显然是不可行的，这个路很多，但是我们可以反向思考
我们可以假定一个距离$x$，然后看看这张图上是否存在一条路径，使它上面第$K+1$大的边长度为$x$,进一步的，我们可以转化成为在这张图中，是否存在$K$条边，任意一条边的权重$W_i>x$
这样我们的$check$函数似乎就呼之欲出了

check函数

这里的$check$我们判断一张图中是否有$K$条权重大于$x$的边，可以进行一下转换：
对于边权$W_i>x$ 的边，设置权重$w_i=1$（这是小w，不是原题给定权重）
反之设置权重$w_i=0$
然后跑下这张图的最短路($\mathrm{从}1\mathrm{到}N$),判断是否$\le k$即可

Dijkstra写法 $O(mlo{g}^{2}n)$

这没什么好说的，就是建图跑最短路，因为边权非负（只能是$0\mathrm{或}1$）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 20020;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N], st[N], n, m, k;

void add(int a, int b, int c) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

bool check(int x) 
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(st, 0, sizeof st);
    
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<> > heap;
    dist[1] = 0, heap.push({dist[1], 1});
    
    while (heap.size()) 
    {
        auto t = heap.top().second; heap.pop();
        
        if (st[t]) continue ;
        st[t] = true ;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) 
        {
            int j = e[i], W = (w[i] > x);
            if (dist[j] > dist[t] + W) 
            {
                dist[j] = dist[t] + W;
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    
    return dist[n] <= k;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) 
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), add(v, u, w);
    }
    
    int l = 0, r = 1e6 + 1;
    while (l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    if (r == 1e6 + 1) r = -1;
    printf("%d\n", r);
    
    return 0;
}

双端队列广搜 $O(mlogn)$

因为边权只有$0-1$，可以用双端队列广搜，时间是线性的，再乘上二分次数，是$O(mlogn)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 20020;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N], st[N], n, m, k;

void add(int a, int b, int c) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

bool check(int x) 
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(st, 0, sizeof st);
    
    deque<int> dq;
    dist[1] = 0, dq.push_back(1);
    
    while (dq.size()) 
    {
        int t = dq.front(); dq.pop_front();
        
        if (st[t]) continue ;
        st[t] = true ;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) 
        {
            int j = e[i], W = (w[i] > x);
            if (dist[j] > dist[t] + W) 
            {
                dist[j] = dist[t] + W;
                if (W) dq.push_back(j);
                else dq.push_front(j);
            }
        }
    }
    
    return dist[n] <= k;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) 
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), add(v, u, w);
    }
    
    int l = 0, r = 1e6 + 1;
    while (l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    if (r == 1e6 + 1) r = -1;
    printf("%d\n", r);
    
    return 0;
}

SPFA $O(mlogn\sim \mathrm{被}\mathrm{卡}\mathrm{飞})$

和Dijkstra一样，跑个最短路

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 20020;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N], st[N], n, m, k;

void add(int a, int b, int c) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

bool check(int x) 
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    memset(st, 0, sizeof st);
    
    queue<int> q;
    dist[1] = 0, q.push(1), st[1] = true;
    
    while (q.size()) 
    {
        int t = q.front(); q.pop();
        st[t] = false ;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) 
        {
            int j = e[i], W = (w[i] > x);
            if (dist[j] > dist[t] + W) 
            {
                dist[j] = dist[t] + W;
                if (!st[j]) q.push(j), st[j] = true ;
            }
        }
    }
    
    return dist[n] <= k;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) 
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), add(v, u, w);
    }
    
    int l = 0, r = 1e6 + 1;
    while (l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    if (r == 1e6 + 1) r = -1;
    printf("%d\n", r);
    
    return 0;
}

关于时间

$AcWing:Dijkstra150ms，\mathrm{双}\mathrm{端}\mathrm{队}\mathrm{列}BFS56ms，SPFA63ms$
$Luogu:Dijkstra238ms,\mathrm{双}\mathrm{端}\mathrm{队}\mathrm{列}BFS73ms，SPFA89ms$

Accepted！