再谈KMP/BM算法（II）

KMP算法中next[i]与Zi(S)的对应关系

我在《KMP算法详解》一文中已经介绍了next[i]的含义，对于S[i]，next[i]的意义是，如果存在k使得S[1...i-k]=S[k...i-1]且S[i-k+1]!=S[i]，那么next[i]=i-k+1。实际上对于满足条件的k，其Z值Zk(S)就满足k+Zk(S)=i，next[i]=Zk(S)+1，所以我们可以用如下方法根据模式串S的Zi(S)表填写对应的next[i]表。

规则一，从头到尾遍历Zi(S)，当遍历到元素k时，如果Zk(S)!=0，那么next[k+Zk(S)]=Zk(S)+1，如果还存在k'使得k+Zk(S)=k'+Zk'(S)那么next[k+Zk(S)]等于Zk(S)+1与Zk'(S)+1的较大者。

规则二，对于遍历Zi(S)列表之后，尚未填写的元素的next值，我们按照如下原则填充，对于元素S[i]，如果S[i]=S[1]，则其next值next[i]=0，否则next[i]=1。

根据上面的原则，我们对于《KMP算法详解》中的老例子通过Zi(S)构建next[i]的表格如下。这里对于S[8]，由于4+Z4(S)=8，7+Z7(S)=8，所以我们选择其中的较大者Z4(S)=4，令next[8]=Z4(S)+1=5。对于S[9]，由于9+Z9(S)超出了pattern数组的范围，所以我们不使用该Z值计算next跳转表。实际对于下表，除了next[8]之外，其余均是由规则二填写。相较于KMP三人给出的next表填写算法，利用Z值表填写next表固然增加了一个转换层，降低了算法效率，但是从易理解的角度讲，由Z值到next值的转换是十分有意义的。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
pattern	a	b	c	a	b	c	a	c	a	b
Zi(S)	0	0	0	4	0	0	1	0	2	0
next	0	1	1	0	1	1	0	5	0	1

BM算法goodsuffix[i]与Zi(S)的对应关系

用Z值表填写goodsuffix表的过程，要比填写next表复杂得多。首先，BM算法使用的是后缀自包含而Z值计算的是前缀，另一方面我们还需要找到最长的与后缀相匹配的前缀的长度，来修正跳转值。这里我们分别来处理这两个问题。

对于BM算法中的模式串S，我们可以计算其逆串Sr的Z值，Zi(Sr)。例如，对于S="abcxxxabc"，Sr="cbaxxxcba"，我们可以得到Sr的Z值表如下图所示

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Sr	c	b	a	x	x	x	c	b	a
Zi(Sr)	0	0	0	0	0	0	3	0	0

我们可以用如下方法计算出模式串S的最大包含后缀表rpr(i)。遍历Sr的所有Z值，对于满足n-i-Zi(Sr)+1>0的i，令rpr(n-i-Zi(Sr)+1)=Zi(Sr)，对遍历之后未被填充rpr(i)值的元素，赋值0（如果S从索引0开始，则公式要改动为n-i-Zi(Sr)）。如下图，这里要注意，对于i=7，Z7(Sr)=3，但是9-7-3+1<=0，所以我们放弃这个值。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	a	b	c	x	x	x	a	b	c
rpr(i)	0	0	0	0	0	0	0	0	0

之后，我们可以计算出未修正的好后缀跳转表。对于rpr(i)=0的元素，goodsuffix'[i]=patlen+n-i，对于rpr(i)!=0的元素，goodsuffix'[i]=n-rpr(i)，其中n是模式串最末元素的索引值。如果模式串的首字符从0开始的话，n!=patlen这里要特别注意。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	a	b	c	x	x	x	a	b	c
goodsuffix'	17	16	15	14	13	12	11	10	1

另外，我们还需要找到与后缀匹配的最长前缀p，用于修正goodsuffix'的跳转步数。p值在构建Zi(Sr)的时候可以得到，对于Sr中的元素Sr[i]，如果有i+Zi(Sr)-1=n，那么p=Zi(Sr)，如果有多个i满足该条件，则p等于其中的最大者。上例中对于Sr="cbaxxxcba"，我们有7+Z7(Sr)-1=9，所以p=Z7(Sr)=3。在修正goodsuffix'的跳转步数时，我们对于n-i>=p的元素goodsuffix'值统一减去p即可得到最终的goodsuffix值。如下图

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	a	b	c	x	x	x	a	b	c
goodsuffix	14	13	12	11	10	9	11	10	1

上面虽然列出了4个步骤，但是在实际计算BM的好后缀跳转表的过程中，除了Zi(Sr)需要单独计算之外，其余三个步骤，可以一次完成。

在使用Z值表计算KMP算法或者是BM算法的跳转表的过程中，模式串起始索引要特别注意，如果S[0...n]从0开始，则要对一些地方做修正。因为如果模式串从索引0的位置开始，其最末元素n!=patlen，所以在计算过程中，哪里用的是模式串的长度，哪里用的是模式串最末元素的索引，要格外留心。