中国剩余定理学习笔记
CRT
求一个最小的
其中
考虑将
使
- 它是
的倍数
使
- 它是
的倍数
以此类推
又因为
那么显然有
然后我们考虑怎么求
首先肯定要求出
然后有一个比较显然的结论 设
则
所以我们要先求出一个
以
一个很暴力的想法就是枚举这个倍数 直到余数为
我们设这个倍数为
我们发现实际上
- 注意
不一定为质数 所以要用扩欧求逆元 并且记得判负
从中也可以看出为什么要求所以
因为实质上你的扩欧方程是
根据裴蜀定理 只有
- 注意求出来
之后我们还要再乘上 并且这个过程需要开快速乘
洛谷板子题:P3868 [TJOI2009] 猜数字
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 11;
ll a[N], b[N];
ll pai = 1;
int k;
ll ans;
ll ksc(ll x, ll y) {
ll ret = 0;
while (y) {
if (y & 1) ret = (ret + x) % pai;
x = (x + x) % pai;
y >>= 1;
}
return ret;
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return;
}
exgcd(b, a % b, x, y);
ll z = x;
x = y;
y = z - (a / b) * y;
}
int main() {
scanf("%d", &k);
for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
scanf("%lld", &b[i]);
pai *= b[i];
}
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
ll x, y;
exgcd(pai / b[i], b[i], x, y);
x = (x % b[i] + b[i]) % b[i];
a[i] = (a[i] % b[i] + b[i]) % b[i];
ans = (ans + ksc(pai / b[i] * x, a[i])) % pai;
}
printf("%lld", ans);
return 0;
}
exCRT
求一个最小的
不保证
咕了 有时间再填
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