中国剩余定理学习笔记

CRT

求一个最小的 $x$ 使得

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_n)\end{array}$

其中 $b_1,b_2,...,b_n$ 互质

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考虑将 $x$ 拆成 $x_1+x_2+...+x_n$

使 $x_1$ 满足：

• 它是 $b_2,b_3,...,b_n$ 的倍数
• $x_1\equiv a_1(\text{mod }{b}_1)$

使 $x_2$ 满足：

• 它是 $b_1,b_3,b_4,...,b_n$ 的倍数
• $x_2\equiv a_2(\text{mod }{b}_2)$

以此类推

又因为 $b$ 是互质的 所以任何几个 $b$ 的 lcm 直接就是它们的乘积

那么显然有 $x=\sum _{i=1}^n{x}_i\mathrm{mod}\prod _{i=1}^n{b}_i$

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然后我们考虑怎么求 $x_i$

首先肯定要求出 $pai=\prod b_i$

然后有一个比较显然的结论 设 $x\equiv 1(\text{mod }mod)$
则 $ax\equiv a(\text{mod }mod)$

所以我们要先求出一个 $x_i^{\prime }\equiv 1(\text{mod }{b}_i)$

以 $x_1$ 为例 首先 $x_1^{\prime }$ 一定是 $pai/b_1$ 的整数倍

一个很暴力的想法就是枚举这个倍数 直到余数为 $1$

我们设这个倍数为 $k$ 发现有 $k\times pai/b_1\equiv 1(\text{mod }{b}_1)$

我们发现实际上 $k$ 就是 $pai/b_1$ 在模 $b_1$ 意义下的逆元

• 注意 $b_i$ 不一定为质数 所以要用扩欧求逆元 并且记得判负

从中也可以看出为什么要求所以 $b$ 互质
因为实质上你的扩欧方程是 $pai/b_i\times k+b_i\times y=1$
根据裴蜀定理 只有 $gcd(pai/b_i,b_i)=1$ 即 $b_i$ 与其他所有 $b$ 都互质的时候才有解

• 注意求出来 $k$ 之后我们还要再乘上 $a_i$ 并且这个过程需要开快速乘

洛谷板子题：P3868 [TJOI2009] 猜数字

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 11;
ll a[N], b[N];
ll pai = 1;
int k;
ll ans;

ll ksc(ll x, ll y) {
	ll ret = 0;
	while (y) {
		if (y & 1) ret = (ret + x) % pai;
		x = (x + x) % pai;
		y >>= 1;
	}
	return ret;
}

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y;
	y = z - (a / b) * y;
}

int main() {
	scanf("%d", &k);
	for (int i = 1; i <= k; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= k; ++i) {
		scanf("%lld", &b[i]);
		pai *= b[i];
	}
	
	for (int i = 1; i <= k; ++i) {
		ll x, y;
		exgcd(pai / b[i], b[i], x, y);
		x = (x % b[i] + b[i]) % b[i];
		a[i] = (a[i] % b[i] + b[i]) % b[i];
		ans = (ans + ksc(pai / b[i] * x, a[i])) % pai;
	}
	
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}

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exCRT

求一个最小的 $x$ 使得

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{b}_n)\end{array}$

不保证 $b_1,b_2,...,b_n$ 互质

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咕了 有时间再填